6.1 • Courbes du plan
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Conseils
On a nécessairement y = 0, car sinon,
t + 1 = 0, contradiction avec t ∈ ]1 + ∞[.
On peut remarquer que
(t + 1) 2
4t
> 1, car :
(t + 1) 2
4t
− 1 =
(t − 1) 2
4t
> 0 .
Solution
On obtient une équation cartésienne de C en éliminant le paramètre u dans le système précédent :
∃ u ∈ ]0 ; +∞[
x + tu
2 y − (t + 1)u = 0
2tuy − (t + 1) = 0.
⇐⇒ ∃ u ∈ ]0 ; +∞[,

   
   
u =
t + 1
2ty
x + t
t + 1
2ty
2
y −
(t + 1)
2
2ty
= 0
⇐⇒

 
 
y > 0
x −
(t + 1)
2
4ty
= 0
⇐⇒

 
 
y > 0
xy =
(t + 1)
2
4t
.
L'enveloppe C est donc une demi-hyperbole, ayant les mêmes asymptotes que H,
située dans le premier quadrant, et au-dessus de H.
y
x
D
C
A
H
O
Les méthodes à retenir
Enveloppe d’une famille de droites du plan
• Pour déterminer l’enveloppe d’une famille de droites D t
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0 du plan (ex. 6.1.1), appliquer le théorème du § 6.1.1 p. 205 : on obtient une représentation paramétrique de l’enveloppe en résolvant le système :
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0
a (t)x + b (t)y + c (t) = 0
.
• Pour déterminer l’enveloppe d’une famille de droites définies géométriquement (ex. 6.1.2 à 6.1.13), choisir
un bon paramètre t, former une équation cartésienne des droites en question, et se ramener au point précédent.