Chapitre 6 • Géométrie
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Conseils
Commencer par faire un schéma.
On se donne deux points P,Q de H,
distincts.
Mise en facteur de v − u dans la deuxième
colonne du déterminant.
On calcule l'aire A comprise entre D
et H.
Dans la zone considérée, D est située audessus de H.
A = a ⇐⇒ t = ϕ
−1 (a).
t est fixé et on choisit par exemple u
comme paramètre ; on remplace donc v
par tu.
Ce système est formé de l'équation cartésienne de D et de l'équation cartésienne
de la droite dérivée de D (par rapport au
paramètre u).
Solution
Q
y
x
D
P
A
u
v
v
1
u
1
H
O
Soient u,v ∈ ]0 ; +∞[ , tels que u < v par exemple,P
u,
1
u
, Q
v,
1
v
.
Une équation cartésienne de la droite (P Q) est :
x − u
v − u
y −
1
u
1
v
−
1
u
= 0 ⇐⇒ (v − u)
x − u
1
y −
1
u
−
1
uv
= 0
⇐⇒ −
1
uv
(x − u) −
y −
1
u
= 0 ⇐⇒ − x + u − uvy + v = 0
⇐⇒ x + uvy − (u + v) = 0.
La droite D = (P Q) et la demi-hyperbole H sont les courbes représentatives des
fonctions x −→
u + v − x
uv
et x −→
1
x
respectivement. D'où :
A =
v
u
u + v − x
uv
−
1
x
dx =
u + v
uv
x −
x
2
2uv
− ln x
v
u
=
u + v
uv
(v − u) −
1
2uv
(v
2 − u
2 ) − ln v + ln u =
v
2
− u
2
2uv
− ln
v
u
.
Notons t =
v
u
; ainsi, t décrit ]1 ; +∞[. On a donc : A =
t
2
− 1
2t
− ln t.
L'application ϕ : ]1 ; +∞[ −→ R, t −→ ϕ(t) =
t
2
− 1
2t
− ln t est dérivable sur
]1 ; +∞[ et, pour tout t ∈ ]1 ; +∞[ :
ϕ
(t) =
1
2
1 +
1
t 2
−
1
t
=
1 + t
2
− 2t
2t 2
> 0,
donc ϕ est strictement croissante sur ]1 ; +∞[.
De plus : ϕ(t) −→
t −→ 1
0 et ϕ(t) −→
t −→ +∞
+∞.
D'après le théorème de la bijection monotone, ϕ est une bijection de ]1 ; +∞[ sur
]0 ; +∞[.
Ainsi, A est constante (égale à a) si et seulement si t est constant (égal à ϕ
−1
(a)).
Une équation cartésienne de D est :
x + uvy − (u + v) = 0 ⇐⇒ x + tu
2 y − (t + 1)u = 0.
Le point courant de l'enveloppe C de la droite D (lorsque u décrit ]0 ; +∞[) est la
solution du système :
x + tu
2 y − (t + 1)u = 0
2tuy − (t + 1) = 0.