6.1 • Courbes du plan
207
Ceci montre que les ordonnées u,v des points U,V sont les solutions de l'équation du second
degré t
2
λ
2
+ t
3
λ − 2 p
4
= 0 , d'inconnue λ ∈ R.
Le discriminant en est : t
6
+ 8 p
4 t
2
0.
On a : u + v = −t et uv = −
2 p
4
t 2 .
Une EC de (U V ) est (puisque u = v) :
x −
u
2
2 p
v
2
2 p
−
u
2
2 p
y − u
v − u
= 0 ⇐⇒ x −
u
2
2 p
−
u + v
2 p
(y − u) = 0
⇐⇒ 2 px − (u + v)y + uv = 0.
⇐⇒ 2 px + ty −
2 p
4
t 2 = 0.
Ainsi, la droite (U V ) , notée D t , a pour EC :
D t
2 px + ty −
2 p
4
t 2 = 0.
On obtient une RP de l'enveloppe Γ de (U V ) en résolvant le système :

  
  
2 px + ty −
2 p
4
t 2 = 0
D t
y +
4 p
4
t 3 = 0
D
t .
D'où Γ :

  
  
x =
1
2 p
2 p
4
t 2 +
4 p
4
t 2
=
3 p
3
t 2
y = −
4 p
4
t 3 .
On obtient une EC de Γ en éliminant t : Γ : 27py
2
= 16 x
3
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
y
x
O
V
I
N
M
P
Γ
U U
On obtient ainsi une représentation
paramétrique de Γ.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
D
t est obtenue en dérivant D t par
rapport à t .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Puisque, dans une EC de (U V ),u et v
jouent des rôles symétriques,on essaie
de faire intervenir leur somme et leur
produit.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 6.1.1 à 6.1.13.
Exercice-type résolu
Exemple d'enveloppe d'une famille de droites du plan
Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (O ;
− →
i ,
− →
j ), on considère la demi-hyperbole H définie par :
xy = 1, x > 0. Déterminer, pour a ∈ R
∗
+ fixé, l'enveloppe de la famille des droites D du plan coupant H en deux points tels que
l'aire comprise entre D et H soit égale à a.