Chapitre 6 • Géométrie
206
Ainsi, l'enveloppe Γ de (AB) est l'astroïde
(cf. Géométrie PCSI-PTSI, § 3.1.7 1))
de RP
x = a cos
3 t
y = a sin
3 t
.
Le point caractéristique de D t , de coordonnées (a cos
3 t,a sin
3 t) est le point en lequel
D t est tangente à Γ.
2) Soit P la parabole d'EC y
2
= 2 px
(p > 0 fixé). Un point M décrit P ; la
normale en M à P recoupe P en un
point N. Du milieu I de M N, on mène les
normales à P (autres que (I M)), qui
coupent P en deux points U,V.
Déterminer l'enveloppe de (U V ) .
Paramétrons : M
t
2
2 p
,t
, t ∈ R .
Un vecteur tangent en M à P est :
− →
dM
dt
t
p
,1
, ou encore, par colinéarité, (t, p).
D'où une EC de la normale N t en M à P :
t
x −
t
2
2 p
+ p(y − t) = 0.
On étudie alors N t ∩ P :
(x,y) ∈ N t ∩ P ⇐⇒



y
2
= 2 px
t
x −
t
2
2 p
+ p(y − t) = 0
⇐⇒

  
  
x =
y
2
2 p
(y − t)
t
2 p
(y + t) + p
= 0,
d'où les coordonnées de N :
y N = −
2 p
2
t
− t, puis x N =
y
2
N
2 p
=
2 p
3
t 2 + 2 p +
t
2
2 p
,
et enfin celles du milieu I de M N :
x I =
1
2
(x M + x N ) =
p
3
t 2 + p +
t
2
2 p
,
y I =
1
2
(y M + y N ) = −
p
2
t
.
Soient λ ∈ R, W
λ
2
2 p
,λ
un point de P ; une EC de la normale N λ en W à P est (cf. plus
haut) :
λ
x −
λ
2
2 p
+ p(y − λ) = 0.
D’où :
I ∈ N λ ⇐⇒ λ
p
3
t 2 + p +
t
2
2 p
−
λ
2
2 p
+ p
−
p
2
t
− λ
= 0
⇐⇒
p
3
t 2 (λ − t) +
λ
2 p
(t
2 − λ
2 ) = 0
⇐⇒ −2 p
4 + λt
2 (t + λ) = 0, si t = λ.
y
x
O
a
a
Dt
y
x
O
U
V
I
N
M
P
Choix d’un paramètre.
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Gé
ométrie Monier
Calcul,en fonction de t,des coordonnées
de N, puis de celles de I .
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On va maintenant déterminer, en
fonction de t,l’équation cartésienne de
la droite (U V ).
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