6.1 • Courbes du plan
205
Définition
Soit (D t ) t∈I une famille de droites du plan d'EC :
D t | a(t)x + b(t)y + c(t) = 0,
où a,b,c : I −→ R sont de classe C 1 et :
∀t ∈ I,
a(t) b(t)
a (t) b (t)
= 0.
On appelle enveloppe de (D t ) t∈I toute courbe Γ du plan telle que :
• chaque D t est tangente à Γ
• Γ admet en chaque point une tangente et celle-ci est une droite de la famille
(D t ) t∈I .
Théorème
Soit (D t ) t∈I une famille de droites du plan d'EC :
D t | a(t)x + b(t)y + c(t) = 0,
où a,b,c : I −→ R sont de classe C 2 et :
∀t ∈ I,
a(t) b(t)
a (t) b (t)
= 0.
Alors (D t ) t∈I admet une enveloppe Γ, et Γ est l'arc paramétré
x = x(t)
y = y(t)
où, pour
tout t de I ,
x(t),y(t)
est la solution du système d'équations (d'inconnue
(x,y) ∈ R 2 ) :
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0
a (t)x + b (t)y + c (t) = 0.
(On suppose ici : ∀t ∈ I ,
x (t),y (t)
= (0,0)) .
Pour tout t de I, le point
x(t),y(t)
, solution du système d'équations précédent, s'appelle le
point caractéristique de D t (ou de Γ).
La droite d'EC a (t)x + b (t)y + c (t) = 0 est souvent notée D
t , et appelée droite-dérivée
de D t .
2) Exemples
1) Déterminer l'enveloppe de la droite (AB) ,
où A ∈ x
x, B ∈ y
y , AB = a > 0 (a fixé).
Paramétrons : A(a cos t,0), B(0,a sin t), t ∈ R .
La droite (AB) , notée D t , admet pour EC :
D t | x sin t + y cos t = a cos t sin t.
D’où : D
t | x cos t − y sin t = a(cos
2 t − sin
2 t).
Par résolution du système de deux équations, on obtient :
x = a cos t sin
2 t + a cos t (cos
2 t − sin
2 t) = a cos
3 t
y = a cos
2 t sin t − a sin t (cos
2 t − sin
2 t) = a sin
3 t.
a
y
x
O
A
B
On peut montrer que la notion
d’enveloppe d’une famille de droites
du plan ne dépend pas du choix du
repère.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Méthode :
• On obtient une représentation
paramétrique x = x(t), y = y(t) de
l’enveloppe en résolvant le système
d’équations ci-contre.
• On obtient une équation cartésienne de
l’enveloppe en éliminant t dans le
système ci-contre.
C’est le problème de l’échelle qui glisse
le long d’un mur.
Choix d’un paramètre.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On obtient D
t en dérivant par rapport
à t dans l’équation de D t .
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Gé
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Définition
Soit (D t ) t∈I une famille de droites du plan d'EC :
D t | a(t)x + b(t)y + c(t) = 0,
où a,b,c : I −→ R sont de classe C 1 et :
∀t ∈ I,
a(t) b(t)
a (t) b (t)
= 0.
On appelle enveloppe de (D t ) t∈I toute courbe Γ du plan telle que :
• chaque D t est tangente à Γ
• Γ admet en chaque point une tangente et celle-ci est une droite de la famille
(D t ) t∈I .
Théorème
Soit (D t ) t∈I une famille de droites du plan d'EC :
D t | a(t)x + b(t)y + c(t) = 0,
où a,b,c : I −→ R sont de classe C 2 et :
∀t ∈ I,
a(t) b(t)
a (t) b (t)
= 0.
Alors (D t ) t∈I admet une enveloppe Γ, et Γ est l'arc paramétré
x = x(t)
y = y(t)
où, pour
tout t de I ,
x(t),y(t)
est la solution du système d'équations (d'inconnue
(x,y) ∈ R 2 ) :
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0
a (t)x + b (t)y + c (t) = 0.
(On suppose ici : ∀t ∈ I ,
x (t),y (t)
= (0,0)) .
Pour tout t de I, le point
x(t),y(t)
, solution du système d'équations précédent, s'appelle le
point caractéristique de D t (ou de Γ).
La droite d'EC a (t)x + b (t)y + c (t) = 0 est souvent notée D
t , et appelée droite-dérivée
de D t .
2) Exemples
1) Déterminer l'enveloppe de la droite (AB) ,
où A ∈ x
x, B ∈ y
y , AB = a > 0 (a fixé).
Paramétrons : A(a cos t,0), B(0,a sin t), t ∈ R .
La droite (AB) , notée D t , admet pour EC :
D t | x sin t + y cos t = a cos t sin t.
D’où : D
t | x cos t − y sin t = a(cos
2 t − sin
2 t).
Par résolution du système de deux équations, on obtient :
x = a cos t sin
2 t + a cos t (cos
2 t − sin
2 t) = a cos
3 t
y = a cos
2 t sin t − a sin t (cos
2 t − sin
2 t) = a sin
3 t.
a
y
x
O
A
B
On peut montrer que la notion
d’enveloppe d’une famille de droites
du plan ne dépend pas du choix du
repère.
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Méthode :
• On obtient une représentation
paramétrique x = x(t), y = y(t) de
l’enveloppe en résolvant le système
d’équations ci-contre.
• On obtient une équation cartésienne de
l’enveloppe en éliminant t dans le
système ci-contre.
C’est le problème de l’échelle qui glisse
le long d’un mur.
Choix d’un paramètre.
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On obtient D
t en dérivant par rapport
à t dans l’équation de D t .
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