Chapitre 6 • Géométrie
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6.1 Courbes du plan
6.1.1 Enveloppe d'une famille de droites du plan
Ce § 6.1.1 est destiné aux étudiants de seconde année, PT et PT ∗ .
1) Théorie
Soit (D t ) t∈I une famille de droites du plan, indexée par un intervalle I de R (non vide ni réduit
à un point). On suppose qu'il existe des applications a,b,c : I −→ R de classe C
1 sur I telles
que, pour tout t de I, D t admette pour EC : a(t)x + b(t)y + c(t) = 0 .
1) Supposons qu'il existe un arc paramétré Γ
x = x(t)
y = y(t)
(t ∈ I ) tel que x,y soient de classe C
1
sur I et que, pour tout t de I, la tangente en M(t) à Γ soit la droite D t .
On a donc : ∀t ∈ I ,
a(t)x(t) + b(t)y(t) + c(t) = 0
a(t)x (t) + b(t)y (t)
= 0
.
En dérivant dans la première égalité, puis en soustrayant, on obtient :
∀t ∈ I,
a(t)x(t) + b(t)y(t) + c(t) = 0
a (t)x(t) + b (t)y(t) + c (t) = 0.
Supposons : ∀t ∈ I,
a(t) b(t)
a (t) b (t)
= 0.
Alors, pour tout t ∈ I, le système de deux équations à deux inconnues
(S t )
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0
a (t)x + b (t)y + c (t) = 0
admet une solution (x,y) et une seule dans R
2 , que l'on peut d'ailleurs calculer, par exemple, à
l'aide des formules de Cramer.
2) Réciproquement, supposons : ∀t ∈ I,
a(t) b(t)
a (t) b (t)
= 0, et considérons l'arc paramétré Γ
représenté par
x = x(t)
y = y(t)
, où
x(t),y(t)
est la solution dans R
2 du système d'équations
(S t )
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0
a (t)x + b (t)y + c (t) = 0.
On peut (en théorie) exprimer x(t) et y(t) en fonction de t à l'aide des formules de Cramer :
x(t) =
−c(t) b(t)
−c
(t) b
(t)
a(t) b(t)
a
(t) b
(t)
, y(t) =
a(t) −c(t)
a
(t) −c
(t)
a(t) b(t)
a
(t) b
(t)
.
Supposons a,b,c de classe C
2 sur I ; alors x,y sont de classe C
1 sur I. En dérivant dans la
1 e égalité de (S t ), puis en soustrayant, on obtient :
∀t ∈ I, a(t)x
(t) + b(t)y
(t) = 0.
Il en résulte que, pour tout t de I tel que
x (t),y (t)
= (0,0) , la tangente en M(t) à Γ a pour
EC : a(t)x + b(t)y + c(t) = 0 , donc est D t .
Résumons l'étude en une Définition et un Théorème.
La première équation traduit que M(t)
est sur D t .
La deuxième équation traduit que le
vecteur x (t)
− →
i + y (t)
− →
j , qui est
tangent à Γ en M(t), dirige D t .
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Cette solution dépend de t
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D’après l’hypothèse précédente portant
sur un déterminant d’ordre 2,ce système
admet une solution et une seule.
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