Chapitre 5 • Espaces préhilbertiens complexes
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Conseils
Solution
Mais, par hypothèse, ||e q || 1, d'où ||e q ||
2
− ||e q ||
4
0.
Il en résulte ||e q || ∈ {0,1}, puis ||e q || = 1.
De plus, comme
1 pn, p =q
|(e p | e q )|
2 = 0, on déduit :
∀ p ∈ {1,...,n}, p = q ⇒ (e p | e q ) = 0.
Ceci montre que (e 1 ,...,e n ) est une famille orthonormale.
En particulier, comme (e 1 ,...,e n ) est une famille orthogonale à vecteurs tous non
nuls, (e 1 ,...,e n ) est libre.
Finalement, (e 1 ,...,e n ) est une base orthonormale de E.
5.2.15 Soient n ∈ N, a 0 ,. . . ,a n ∈ C deux à deux distincts,
E = C n [X], ϕ : E × E −→ C l'application définie, pour
tout (P,Q) ∈ E × E, par :
ϕ(P,Q) =
n
k=0
P(a k )Q(a k ).
a) Vérifier que ϕ est un produit scalaire sur E.
b) Trouver une base de E orthonormale pour ϕ.
5.2.16
Soient
E,(. | .)
un espace hermitien,
n = dim (E), (e 1 ,. . . ,e n ) une base orthonormale de E,
(u 1 ,. . . ,u n ) ∈ E n . On note, pour tout k ∈ {1,. . . ,n},
v k = u k + e k . On suppose
n
k=1
||u k || < 1. Démontrer que
(v 1 ,. . . ,v n ) est une base de E.
Exercices