5.2 • Espaces préhilbertiens complexes et espaces hermitiens
201
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Conseils
On va essayer de former un cycle
d'implications :
(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
(e p | e q ) =
1 si p = q
0 si p = q
car (e 1 ,...,e n ) est une famille orthonormale.
Développement d'un produit scalaire
complexe par sesquilinéarité.
Intervention du théorème de la projection
orthogonale.
Application de l'hypothèse (4) à x − y.
En particulier, E est de dimension finie.
Application de l'hypothèse (4) à e q .
Solution
(1) ⇒ (2) :
Supposons que (e 1 ,...,e n ) soit une base orthonormale de E.
Soit x ∈ E. Il existe (x 1 ,...,x n ) ∈ C
n tel que : x =
n
q=1
x q e q .
On a, pour tout p ∈ {1,...,n} :
(e p | x) =
e p
n
q=1
x q e q
=
n
q=1
x q (e p | e q ) = x p ,
d'où : x =
n
p=1
(e p | x)e p .
(2) ⇒ (3) :
On suppose : ∀ x ∈ E, x =
n
p=1
(e p | x)e p .
Soit (x,y) ∈ E
2
. On a :
(x | y) =
n
p=1
(e p | x)e p
n
q=1
(e q | y)e q
=
1 p,qn
(e p | x)(e q | y)(e p | e q ) =
n
p=1
(e p | x)(e p | y).
(3) ⇒ (4) :
On suppose : ∀ (x,y) ∈ E
2 , (x | y) =
n
p=1
(e p | x)(e p | y).
En particulier, pour tout x ∈ E :
||x||
2 = (x | x) =
n
p=1
(e p | x)(e p | x) =
n
p=1
|(e p | x)|
2 .
(4) ⇒ (1) :
On suppose : ∀ x ∈ E, ||x||
2 =
n
p=1
|(e p | x)|
2 .
• Notons F = Vect (e 1 ,...,e n ).
Soit x ∈ E.
Puisque F est un sev de dimension finie de l'espace préhilbertien E, d'après le théorème de la projection orthogonale, il existe y ∈ E tel que :
x = y + (x − y), y ∈ F, x − y ∈ F
⊥ .
D'après (4) : ||x − y||
2 =
n
p=1
|(e p | x − y)|
2 = 0, car x − y est orthogonal à chacun des e p .
Il en résulte x = y ∈ F.
Ceci montre E = F , donc (e 1 ,...,e n ) engendre E.
• Soit q ∈ {1,...,n}. On a, d'après (4) :
||e q ||
2 =
n
p=1
|(e p | e q )|
2 =
1 pn, p =q
|(e p | e q )|
2 + ||e q ||
4 ,
d'où :
||e q ||
2 − ||e q ||
4 =
1 pn, p =q
|(e p | e q )|
2
0.