Chapitre 5 • Espaces préhilbertiens complexes
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Proposition 5
Soient (E,< .,. >) un espace préhilbertien, F un sev de dimension finie de E.
On note p F : E −→ E l'application qui, à chaque x de E, associe l'unique élément y
de F tel que (x − y)⊥F.
Alors :
1) p F est un projecteur de E, c'est-à-dire : p F ∈ L(E) et p F ◦ p F = p F
2) Im( p F ) = F et Ker( p F ) = F ⊥
3) p F est symétrique, c'est-à-dire :
∀(x,x
) ∈ E
2
, < p F (x),x
> = < x, p F (x
) >
4) p F ∈ LC(E) et, si F = {0}, ||| p F ||| = 1
5) L'application F −→ R
f −→ ||x − f ||
admet une borne inférieure, atteint celle-ci et
l'atteint en p F (x) seulement.
L'application p F est appelé le projecteur orthogonal sur F.
F
p F (x)
x
0
Corollaire
Pour tout sev F de dimension finie d'un espace préhilbertien E, on a :
F ⊕ F
⊥
= E.
Rappel de notation : L(E) est
l’ensemble des endomorphismes de E.
Pour f ∈ L(E) :
||| f ||| = Sup
||x||1
|| f (x)|| .
On peut même écrire :
F ⊥ F
⊥ = E.
Exercice-type résolu
Diverses caractérisations d'une base orthonormale
Soient
E,(. | .)
un espace préhilbertien complexe, n ∈ N
∗
, (e 1 ,...,e n ) ∈ E
n tel que : ∀ p ∈ {1,...,n}, ||e p || 1.
Montrer que les quatre propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(1) (e 1 ,...,e n ) est une base orthonormale de E
(2) ∀ x ∈ E, x =
n
p=1
(e p | x)e p
(3) ∀ (x,y) ∈ E
2 , (x | y) =
n
p=1
(e p | x)(e p | y)
(4) ∀ x ∈ E, ||x||
2 =
n
p=1
|(e p | x)|
2 .