5.2 • Espaces préhilbertiens complexes et espaces hermitiens
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2) Orthogonalisation
Théorème 1
Orthogonalisation de Schmidt
Soient (E,< ·,· >) un espace préhilbertien complexe, p ∈ N ∗ , (e 1 ,. . . ,e p ) une
famille libre dans E. Il existe (V 1 ,. . . ,V p ) ∈ E p tel que :
V 1 ,. . . ,V p sont deux à deux orthogonaux
∀ k ∈ {1,. . . ,p}, Vect(V 1 ,. . . ,V k ) = Vect(e 1 ,. . . ,e k ).
Remarque : En imposant à (V 1 ,. . . ,V p ) la condition ∀ k ∈ {1,. . . ,p}, < e k ,V k > = 1, il y a
alors unicité de (V 1 ,. . . ,V p ), et la matrice de passage de (e 1 ,. . . ,e p ) à (V 1 ,. . . ,V p ) est triangulaire supérieure à termes diagonaux égaux à 1 :
1
. . .
0
1
.
On abrège base orthonormale en b.o.n.
Corollaire 1
Théorème de la base orthonormale incomplète
Pour toute famille orthonormale (e 1 ,. . . ,e p ) d'un evh E, il existe e p+1 ,. . . ,e n ∈ E (où
n = dim(E)) tels que (e 1 ,. . . ,e n ) soit une b.o.n. de E.
Corollaire 2
Tout evh admet au moins une b.o.n.
3) Calculs dans une base orthonormale
Proposition 4
Si B = (e 1 ,. . . ,e n ) est une b.o.n. de (E,< ·,· >), alors, pour tout x ∈ E :
x =
n
k=1
< e k ,x > e k .
Corollaire
En particulier, si B est une b.o.n. de E , on a, pour tout (x,y) de E 2 et en notant
X = Mat B (x), Y = Mat B (y) :
< x,y > = X ∗ Y.
4) Théorème de la projection orthogonale
Théorème 2
Théorème de projection orthogonale sur un sev
de dimension finie
Soient (E,< .,. >) un espace préhilbertien, F un sev de dimension finie de E, x ∈ E.
Il existe un élément et un seul y de F tel que (x − y)⊥F ; il s'agit de
y =
n
k=1
< f k ,x > f k ,
où ( f 1 ,. . . , f n ) est n'importe quelle base orthonormale de F. Cet élément y est appelé le projeté orthogonal (ou : la projection orthogonale) de x sur F.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Bien noter la présence de < e k ,x > et
non de < x,e k > , qui est son
conjugué.
X ∗ = t X est la transconjuguée de X.
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2) Orthogonalisation
Théorème 1
Orthogonalisation de Schmidt
Soient (E,< ·,· >) un espace préhilbertien complexe, p ∈ N ∗ , (e 1 ,. . . ,e p ) une
famille libre dans E. Il existe (V 1 ,. . . ,V p ) ∈ E p tel que :
V 1 ,. . . ,V p sont deux à deux orthogonaux
∀ k ∈ {1,. . . ,p}, Vect(V 1 ,. . . ,V k ) = Vect(e 1 ,. . . ,e k ).
Remarque : En imposant à (V 1 ,. . . ,V p ) la condition ∀ k ∈ {1,. . . ,p}, < e k ,V k > = 1, il y a
alors unicité de (V 1 ,. . . ,V p ), et la matrice de passage de (e 1 ,. . . ,e p ) à (V 1 ,. . . ,V p ) est triangulaire supérieure à termes diagonaux égaux à 1 :
1
. . .
0
1
.
On abrège base orthonormale en b.o.n.
Corollaire 1
Théorème de la base orthonormale incomplète
Pour toute famille orthonormale (e 1 ,. . . ,e p ) d'un evh E, il existe e p+1 ,. . . ,e n ∈ E (où
n = dim(E)) tels que (e 1 ,. . . ,e n ) soit une b.o.n. de E.
Corollaire 2
Tout evh admet au moins une b.o.n.
3) Calculs dans une base orthonormale
Proposition 4
Si B = (e 1 ,. . . ,e n ) est une b.o.n. de (E,< ·,· >), alors, pour tout x ∈ E :
x =
n
k=1
< e k ,x > e k .
Corollaire
En particulier, si B est une b.o.n. de E , on a, pour tout (x,y) de E 2 et en notant
X = Mat B (x), Y = Mat B (y) :
< x,y > = X ∗ Y.
4) Théorème de la projection orthogonale
Théorème 2
Théorème de projection orthogonale sur un sev
de dimension finie
Soient (E,< .,. >) un espace préhilbertien, F un sev de dimension finie de E, x ∈ E.
Il existe un élément et un seul y de F tel que (x − y)⊥F ; il s'agit de
y =
n
k=1
< f k ,x > f k ,
où ( f 1 ,. . . , f n ) est n'importe quelle base orthonormale de F. Cet élément y est appelé le projeté orthogonal (ou : la projection orthogonale) de x sur F.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Bien noter la présence de < e k ,x > et
non de < x,e k > , qui est son
conjugué.
X ∗ = t X est la transconjuguée de X.