Chapitre 5 • Espaces préhilbertiens complexes
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2) Soient x ∈ E, A ∈ P(E) ; on dit que x est orthogonal à A, et on note x⊥A
si et seulement si : ∀ a ∈ A, < x,a > = 0.
3) Pour toute partie A de E, on définit l'orthogonal de A, noté A ⊥ :
A
⊥
= {x ∈ E; ∀ a ∈ A, < x,a > = 0}.
4) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite orthogonale si et seulement si :
∀ (i, j) ∈ I
2
, (i = j ⇒ < x i ,x j > = 0).
5) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite orthonormale si et seulement si :
(x i ) i∈I est orthogonale
∀ i ∈ I, ||x i || = 1.
Proposition 1
Soit (E,< ·,· >) un espace préhilbertien complexe.
1) Pour toute partie A de E, A ⊥ est un sev de E.
2) ∀ (A,B) ∈ (P(E))
2
, (A ⊂ B ⇒ A ⊥ ⊃ B ⊥ ).
3) ∀ A ∈ P(E), A ⊥ =
Vect(A)
⊥ .
4) Si E est de dimension finie, alors pour tout sev F de E : F ⊕ F ⊥ = E,
et donc : dim (F ⊥ ) = dim (E) − dim (F).
5)
• ∀ A ∈ P(E), A ⊥⊥ ⊃ Vect(A)
• Si E est de dimension finie, alors : ∀ A ∈ P(E), A ⊥⊥ = Vect(A).
6) E ⊥ = {0} et {0} ⊥ = E.
7) ∀ A ∈ P(E), A ∩ A ⊥ ⊂ {0} .
8) Pour tous sev F,G de E :
(F + G)
⊥
= F
⊥
∩ G
⊥ et (F ∩ G)
⊥
⊃ F
⊥
+ G
⊥
et, si E est de dimension finie : (F ∩ G) ⊥ = F ⊥ + G ⊥ .
Proposition 2
Soient (E,< ·,· >) un espace préhilbertien complexe, (x i ) i∈I une famille dans E.
Si
(x i ) i∈I est orthogonale
∀ i ∈ I, x i = 0
, alors (x i ) i∈I est libre.
Proposition 3
Théorème de Pythagore
Soient (E,< ·,· >) un espace préhilbertien complexe, (x,y) ∈ E
2 . On a :
x⊥y ⇒ ||x + y||
2
= ||x||
2
+ ||y||
2
.
Remarque : La réciproque est fausse (si dim(E) 1 ). En effet :
||x + y|| 2 = ||x|| 2 + ||y|| 2 ⇐⇒ < x,y > + < y,x > = 0 ⇐⇒ Ré (< x,y >) = 0.
Bien noter, dans 2), le renversement de
l’inclusion.
Il s’agit d’une implication et non d’une
équivalence logique, cf. la Remarque
ci-après.
Attention : Ré (< x,y >) = 0
n’entraîne pas < x,y >= 0.
Exercice 5.2.16.