5.2 • Espaces préhilbertiens complexes et espaces hermitiens
197
5.2.2 Orthogonalité
1) Généralités
Rappelons la Déf. suivante (cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.4.3 Déf.1 et ce volume Algèbre et géométrie
PC-PSI-PT, 4.2.2 Déf. p. 141).
Définition
Soit (E,< ·,· >) un espace préhilbertien complexe.
1) Soit (x,y) ∈ E
2 ; on dit que x est orthogonal à y, et on note x⊥y, si et
seulement si : < x,y > = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
5.2.1 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C), X, Y ∈ M n,1 (C).
Montrer :
|X
∗ A
∗ BY | 2 (X
∗ A
∗ AX)(Y
∗ B
∗ BY ).
5.2.2 Montrer :
∀ A ∈ M n, p (C), (A ∗ A = 0 ⇒ A = 0).
5.2.3 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (C).
Comparer les noyaux, images, rangs de A, A ∗ , A ∗ A , A A ∗ .
5.2.4 Résoudre l'équation (I n + A)A ∗ = A, d'inconnue
A ∈ M n (C).
5.2.5
Soient n, p,q ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (C) telle que
rg(A) = p, B ∈ M n,q (C) telle que rg (B) = q.
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∃(X,Y ) ∈ M p,1 (C) × M q,1 (C),
(X,Y ) = (0,0)
AX = BY
(ii) B ∗ B − B ∗ A(A ∗ A) −1 A ∗ B n'est pas inversible.
Référence : Crux Mathematicorum, Problème 863.
5.2.6 Établir, pour tout X de M n,1 (C) :
||X|| p =
Sup
Y ∈M n,1 (C)
||Y || p =1
|Y ∗ X| ,
où p ∈ {1,2,∞} et q =
∞ si p = 1
2 si p = 2
1 si p = ∞
.
On rappelle que, pour Y =
y 1
. . .
y n
∈ M n,1 (C) , on note
||Y || 1 =
n
k=1
|y k |, ||Y || 2 =
n
k=1
|y k | 2
1
2
,
||Y || ∞ = Max
1kn
|y k |, cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.1.1.
5.2.7 Soient E un evh, (x,y) ∈ E 2 ; montrer :
||x + y|| ||x − y|| ||x|| 2 + ||y|| 2 ,
et étudier le cas d'égalité.
5.2.8 Soient E un evh, (x,y) ∈ E 2 ; vérifier :
2 < x,y >
= ||x + y|| 2 + i || ix + y|| 2 − (1 + i)(||x|| 2 + ||y|| 2 ).
5.2.9 Soient N ∈ N, tel que N 3, E un espace préhilbertien complexe, (x,y) ∈ E 2 . Montrer :
< x,y > =
1
N
N −1
k=0
||e
2ikπ
N x + y|| 2 e
2ikπ
N .
5.2.10 Soient E un espace préhilbertien complexe,
(x,y) ∈ E 2 . Montrer :
< x,y > =
1
2π
2π
0
||e iθ x + y|| 2 e
iθ dθ.
5.2.11 Soient E un espace préhilbertien complexe,
f ∈ L(E) .
Montrer que, si (∀ x ∈ E, < f (x),x >= 0) , alors f = 0.
Le résultat est-il vrai en remplaçant C par R ?
5.2.12 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C). Montrer :
A ∗ AB = 0 ⇒ AB = 0.
5.2.13
Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C) telle que
tr (A 2 ) = tr (A A ∗ ). Démontrer : A ∈ H n .
(On pourra calculer ||A − A ∗ || 2 , où || · || est la norme hermitienne canonique sur M n (C)).
5.2.14 Soient n ∈ N ∗ , (A,B) ∈ (M n (C)) 2 libre ; l'endomorphisme f de M n (C) défini par :
∀ X ∈ M n (C), f (X) = tr (A ∗ X)B − tr (B ∗ X)A
est-il diagonalisable ?
Exercices
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5.2.2 Orthogonalité
1) Généralités
Rappelons la Déf. suivante (cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.4.3 Déf.1 et ce volume Algèbre et géométrie
PC-PSI-PT, 4.2.2 Déf. p. 141).
Définition
Soit (E,< ·,· >) un espace préhilbertien complexe.
1) Soit (x,y) ∈ E
2 ; on dit que x est orthogonal à y, et on note x⊥y, si et
seulement si : < x,y > = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
5.2.1 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C), X, Y ∈ M n,1 (C).
Montrer :
|X
∗ A
∗ BY | 2 (X
∗ A
∗ AX)(Y
∗ B
∗ BY ).
5.2.2 Montrer :
∀ A ∈ M n, p (C), (A ∗ A = 0 ⇒ A = 0).
5.2.3 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (C).
Comparer les noyaux, images, rangs de A, A ∗ , A ∗ A , A A ∗ .
5.2.4 Résoudre l'équation (I n + A)A ∗ = A, d'inconnue
A ∈ M n (C).
5.2.5
Soient n, p,q ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (C) telle que
rg(A) = p, B ∈ M n,q (C) telle que rg (B) = q.
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∃(X,Y ) ∈ M p,1 (C) × M q,1 (C),
(X,Y ) = (0,0)
AX = BY
(ii) B ∗ B − B ∗ A(A ∗ A) −1 A ∗ B n'est pas inversible.
Référence : Crux Mathematicorum, Problème 863.
5.2.6 Établir, pour tout X de M n,1 (C) :
||X|| p =
Sup
Y ∈M n,1 (C)
||Y || p =1
|Y ∗ X| ,
où p ∈ {1,2,∞} et q =
∞ si p = 1
2 si p = 2
1 si p = ∞
.
On rappelle que, pour Y =
y 1
. . .
y n
∈ M n,1 (C) , on note
||Y || 1 =
n
k=1
|y k |, ||Y || 2 =
n
k=1
|y k | 2
1
2
,
||Y || ∞ = Max
1kn
|y k |, cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.1.1.
5.2.7 Soient E un evh, (x,y) ∈ E 2 ; montrer :
||x + y|| ||x − y|| ||x|| 2 + ||y|| 2 ,
et étudier le cas d'égalité.
5.2.8 Soient E un evh, (x,y) ∈ E 2 ; vérifier :
2 < x,y >
= ||x + y|| 2 + i || ix + y|| 2 − (1 + i)(||x|| 2 + ||y|| 2 ).
5.2.9 Soient N ∈ N, tel que N 3, E un espace préhilbertien complexe, (x,y) ∈ E 2 . Montrer :
< x,y > =
1
N
N −1
k=0
||e
2ikπ
N x + y|| 2 e
2ikπ
N .
5.2.10 Soient E un espace préhilbertien complexe,
(x,y) ∈ E 2 . Montrer :
< x,y > =
1
2π
2π
0
||e iθ x + y|| 2 e
iθ dθ.
5.2.11 Soient E un espace préhilbertien complexe,
f ∈ L(E) .
Montrer que, si (∀ x ∈ E, < f (x),x >= 0) , alors f = 0.
Le résultat est-il vrai en remplaçant C par R ?
5.2.12 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C). Montrer :
A ∗ AB = 0 ⇒ AB = 0.
5.2.13
Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C) telle que
tr (A 2 ) = tr (A A ∗ ). Démontrer : A ∈ H n .
(On pourra calculer ||A − A ∗ || 2 , où || · || est la norme hermitienne canonique sur M n (C)).
5.2.14 Soient n ∈ N ∗ , (A,B) ∈ (M n (C)) 2 libre ; l'endomorphisme f de M n (C) défini par :
∀ X ∈ M n (C), f (X) = tr (A ∗ X)B − tr (B ∗ X)A
est-il diagonalisable ?
Exercices