Chapitre 5 • Espaces préhilbertiens complexes
196
Conseils
On forme la différence des carrés des deux
membres de l'inégalité demandée.
On se ramène au 1 er cas.
On cherche (x 0 ,y 0 ) ∈ E 2 vérifiant l'égalité
dans l'inégalité demandée, et tel que
le second membre ne soit pas nul.
Solution
1 er cas : Ré (x | y) 0
On a alors Max
||x + y||, ||x − y||
= ||x + y|| et :
√
2||x + y||
2 −
||x|| + ||y||
2
= 2
||x||
2 + 2 Ré (x | y) + ||y||
2
−
||x||
2 + 2||x|| ||y|| + ||y||
2
= ||x||
2 + 4 Ré (x | y) + ||y||
2 − 2||x|| ||y||
=
||x|| − ||y||
2 + 4 Ré (x | y) 0,
donc :
||x|| + ||y||
√
2||x + y|| =
√
2 Max
||x + y||, ||x − y||
.
2 ème cas : Ré (x | y) 0
En notant y
= −y, on a : Ré (x | y
) = −Ré (x | y) 0,
d'où, en utilisant le résultat du 1 er cas, appliqué à (x,y
) :
||x|| + ||y|| = ||x|| + ||y
||
√
2 Max
||x + y
||, ||x − y
||
= Max
||x − y||, ||x + y||
.
2) Puisque E = {0}, il existe x 0 ∈ E tel que x 0 = 0. Notons y 0 = i x 0 ∈ E.
On a alors : ||x 0 || + ||y 0 || = 2||x 0 || et :
Max
||x 0 + y 0 ||, ||x 0 − y 0 ||
= Max
|1 + i | ||x 0 ||, |1 − i | ||x 0 ||
=
√
2 ||x 0 ||.
Si une constante C ∈ R + satisfait
∀ (x,y) ∈ E
2 , ||x|| + ||y|| C Max
||x + y||, ||x − y||
,
alors en particulier : 2||x 0 || C
√
2 ||x 0 ||, et donc, puisque ||x 0 || > 0, on déduit :
C
√
2.
On conclut que
√
2 est la meilleure constante possible pour l'inégalité de l'énoncé.
Les méthodes à retenir
Produit scalaire hermitien
• Pour établir une inégalité sur des produits scalaires hermitiens, penser à utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz
(ex. 5.2.1, 5.2.15) ou l'inégalité de Minkowski.
• Pour montrer qu'une matrice M (a priori rectangulaire) est nulle, il suffit de montrer que sa norme hermitienne usuelle est nulle, c'est-à-dire que tr(M ∗ M) = 0 (ex. 5.2.2, 5.2.4, 5.2.12, 5.2.13).
• Dans la résolution de l'exercice 5.2.3, la ligne de calcul :
< X,A ∗ AX > = X ∗ A ∗ AX = (AX) ∗ (AX) = ||AX||
2
2
est importante.
• Pour une étude dans un espace préhilbertien complexe, penser à utiliser le nombre complexe i (ex. 5.2.11) ; les
résultats relatifs au cas complexe peuvent différer sensiblement de ceux relatifs au cas réel.
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Conseils
On forme la différence des carrés des deux
membres de l'inégalité demandée.
On se ramène au 1 er cas.
On cherche (x 0 ,y 0 ) ∈ E 2 vérifiant l'égalité
dans l'inégalité demandée, et tel que
le second membre ne soit pas nul.
Solution
1 er cas : Ré (x | y) 0
On a alors Max
||x + y||, ||x − y||
= ||x + y|| et :
√
2||x + y||
2 −
||x|| + ||y||
2
= 2
||x||
2 + 2 Ré (x | y) + ||y||
2
−
||x||
2 + 2||x|| ||y|| + ||y||
2
= ||x||
2 + 4 Ré (x | y) + ||y||
2 − 2||x|| ||y||
=
||x|| − ||y||
2 + 4 Ré (x | y) 0,
donc :
||x|| + ||y||
√
2||x + y|| =
√
2 Max
||x + y||, ||x − y||
.
2 ème cas : Ré (x | y) 0
En notant y
= −y, on a : Ré (x | y
) = −Ré (x | y) 0,
d'où, en utilisant le résultat du 1 er cas, appliqué à (x,y
) :
||x|| + ||y|| = ||x|| + ||y
||
√
2 Max
||x + y
||, ||x − y
||
= Max
||x − y||, ||x + y||
.
2) Puisque E = {0}, il existe x 0 ∈ E tel que x 0 = 0. Notons y 0 = i x 0 ∈ E.
On a alors : ||x 0 || + ||y 0 || = 2||x 0 || et :
Max
||x 0 + y 0 ||, ||x 0 − y 0 ||
= Max
|1 + i | ||x 0 ||, |1 − i | ||x 0 ||
=
√
2 ||x 0 ||.
Si une constante C ∈ R + satisfait
∀ (x,y) ∈ E
2 , ||x|| + ||y|| C Max
||x + y||, ||x − y||
,
alors en particulier : 2||x 0 || C
√
2 ||x 0 ||, et donc, puisque ||x 0 || > 0, on déduit :
C
√
2.
On conclut que
√
2 est la meilleure constante possible pour l'inégalité de l'énoncé.
Les méthodes à retenir
Produit scalaire hermitien
• Pour établir une inégalité sur des produits scalaires hermitiens, penser à utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz
(ex. 5.2.1, 5.2.15) ou l'inégalité de Minkowski.
• Pour montrer qu'une matrice M (a priori rectangulaire) est nulle, il suffit de montrer que sa norme hermitienne usuelle est nulle, c'est-à-dire que tr(M ∗ M) = 0 (ex. 5.2.2, 5.2.4, 5.2.12, 5.2.13).
• Dans la résolution de l'exercice 5.2.3, la ligne de calcul :
< X,A ∗ AX > = X ∗ A ∗ AX = (AX) ∗ (AX) = ||AX||
2
2
est importante.
• Pour une étude dans un espace préhilbertien complexe, penser à utiliser le nombre complexe i (ex. 5.2.11) ; les
résultats relatifs au cas complexe peuvent différer sensiblement de ceux relatifs au cas réel.