5.2 • Espaces préhilbertiens complexes et espaces hermitiens
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Proposition 2
Étude du cas d'égalité dans l'inégalité de Minkowski
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe, φ la fh associée à ϕ, (x,y) ∈ E
2 .
On a :
φ(x + y)
1
2
=
φ(x)
1
2
+
φ(y)
1
2
⇐⇒
x = 0
ou
∃ α ∈ R + , y = αx.
Proposition - Définition 3
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe, φ la fh associée à ϕ. L'application
|| · || : E −→ R
x −→
φ(x)
1
2
est une norme sur E, appelée norme hermitienne associée à ϕ.
Remarque : Soient < ·,· > un psh sur E , || · || la norme hermitienne associée. Les formules
obtenues en 5.1.1 Prop. 3 p. 190 et les inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski peuvent
être récrites sous la forme suivante, pour tout (x,y) de E 2 :
||x + y|| 2 = ||x|| 2 + 2 Ré (< x,y >) + ||y|| 2
||x + y|| 2 − ||x − y|| 2 = 4 Ré (< x,y >)
||x + y|| 2 + ||x − y|| 2 = 2(||x|| 2 + ||y|| 2 )
< x,y >=
1
4
||x + y|| 2 − i||x + iy|| 2 − ||x − y|| 2 + i||x − iy|| 2
| < x,y > | 2 ||x|| 2 · ||y|| 2
||x + y|| ||x|| + ||y||.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Bien noter la présence de parties réelles.
Exercices 5.2.1, 5.2.6 à 5.2.13.
Exercice-type résolu
Une inégalité portant sur des normes dans un espace préhilbertien complexe
Soient
E,(. | .)
un espace préhilbertien complexe non réduit à 0, ||.|| la norme associée. Montrer :
∀ (x,y) ∈ E
2 , ||x|| + ||y||
√
2 Max
||x + y||, ||x − y||
et établir que
√
2 est la meilleure constante possible.
Conseils
Comme Max
||x + y||, ||x − y||
intervient, on essaie de comparer ||x + y||
et ||x − y||, et, puisque ||.|| est une norme
hermitienne, on compare plutôt leurs
carrés.
Solution
1) Soit (x,y) ∈ E
2
.
On a : ||x + y||
2
− ||x − y||
2
= 4 Ré (x | y).
Séparons en deux cas, selon le signe de Ré (x | y).