Chapitre 5 • Espaces préhilbertiens complexes
194
On abrège produit scalaire hermitien en psh.
Lorsque ϕ est un psh, on note souvent (x|y) ou < x,y > ou x · y à la place de ϕ(x,y).
Définition 2
On appelle espace préhilbertien complexe tout couple (E,ϕ) où E est un C-ev et ϕ
un psh sur E.
On appelle espace hermitien tout espace préhilbertien complexe de dimension finie.
On abrège espace (vectoriel) hermitien en evh.
Exemples :
1) Produit scalaire hermitien usuel sur C n , n ∈ N ∗
L'application ϕ : C n × C n −→ C définie par :
ϕ
(x 1 ,. . . ,x n ),(y 1 ,. . . y n )
=
n
k=1
x k y k
est un psh sur C n , appelée psh usuel (ou : canonique) sur C n .
2) Produit scalaire hermitien canonique sur M n, p (C), (n, p) ∈ (N ∗ ) 2
L'application ϕ :
M n, p (C)
2 −→ C
(A,B) −→ tr (A
∗ B)
est un psh sur M n, p (C), appelé psh canonique
sur M n, p (C) .
Le psh canonique sur M n,1 (C) (ou M 1,n (C)) est, à la notation près, le psh usuel sur C n .
3) Soient (a,b) ∈ R 2 , tel que a < b, et E = C 0 ([a; b], C) le C -ev des applications continues de [a; b] dans C .
L'application ϕ :
E 2 −→ C
( f,g) −→
b
a
f g
est un psh sur E (cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.4.1
Exemple 3).
2) Inégalités, normes hermitiennes
Théorème 1
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe , φ la fh associée à ϕ.
On a : ∀ (x,y) ∈ E
2
, |ϕ(x,y)|
2
φ(x)φ(y).
Proposition 1
Étude du cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe, φ la fh associée à ϕ, (x,y) ∈ E
2 . On a :
|ϕ(x,y)|
2
= φ(x)φ(y) ⇐⇒ (x,y) lié.
Théorème 2
Inégalité de Minkowski
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe, φ la fh associée à ϕ.
On a :
∀ (x,y) ∈ E
2
,
φ(x + y)
1
2
φ(x)
1
2 +
φ(y)
1
2 .
On note souvent E au lieu de (E,ϕ),le
contexte précisant ϕ.
Exercices 5.2.8 à 5.2.11.
Ces trois exemples sont importants pour
la pratique.
Exercices 5.2.2 à 5.2.5, 5.2.12, 5.2.13.
Ne pas oublier le module sur ϕ(x,y) ni
le carré sur |ϕ(x,y)| .
On veillera à ne pas confondre
φ(x) et (φ(x))
1
2.
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On abrège produit scalaire hermitien en psh.
Lorsque ϕ est un psh, on note souvent (x|y) ou < x,y > ou x · y à la place de ϕ(x,y).
Définition 2
On appelle espace préhilbertien complexe tout couple (E,ϕ) où E est un C-ev et ϕ
un psh sur E.
On appelle espace hermitien tout espace préhilbertien complexe de dimension finie.
On abrège espace (vectoriel) hermitien en evh.
Exemples :
1) Produit scalaire hermitien usuel sur C n , n ∈ N ∗
L'application ϕ : C n × C n −→ C définie par :
ϕ
(x 1 ,. . . ,x n ),(y 1 ,. . . y n )
=
n
k=1
x k y k
est un psh sur C n , appelée psh usuel (ou : canonique) sur C n .
2) Produit scalaire hermitien canonique sur M n, p (C), (n, p) ∈ (N ∗ ) 2
L'application ϕ :
M n, p (C)
2 −→ C
(A,B) −→ tr (A
∗ B)
est un psh sur M n, p (C), appelé psh canonique
sur M n, p (C) .
Le psh canonique sur M n,1 (C) (ou M 1,n (C)) est, à la notation près, le psh usuel sur C n .
3) Soient (a,b) ∈ R 2 , tel que a < b, et E = C 0 ([a; b], C) le C -ev des applications continues de [a; b] dans C .
L'application ϕ :
E 2 −→ C
( f,g) −→
b
a
f g
est un psh sur E (cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.4.1
Exemple 3).
2) Inégalités, normes hermitiennes
Théorème 1
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe , φ la fh associée à ϕ.
On a : ∀ (x,y) ∈ E
2
, |ϕ(x,y)|
2
φ(x)φ(y).
Proposition 1
Étude du cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe, φ la fh associée à ϕ, (x,y) ∈ E
2 . On a :
|ϕ(x,y)|
2
= φ(x)φ(y) ⇐⇒ (x,y) lié.
Théorème 2
Inégalité de Minkowski
Soient (E,ϕ) un espace préhilbertien complexe, φ la fh associée à ϕ.
On a :
∀ (x,y) ∈ E
2
,
φ(x + y)
1
2
φ(x)
1
2 +
φ(y)
1
2 .
On note souvent E au lieu de (E,ϕ),le
contexte précisant ϕ.
Exercices 5.2.8 à 5.2.11.
Ces trois exemples sont importants pour
la pratique.
Exercices 5.2.2 à 5.2.5, 5.2.12, 5.2.13.
Ne pas oublier le module sur ϕ(x,y) ni
le carré sur |ϕ(x,y)| .
On veillera à ne pas confondre
φ(x) et (φ(x))
1
2.