5.2 • Espaces préhilbertiens complexes et espaces hermitiens
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5.2 Espaces préhilbertiens complexes
et espaces hermitiens
L'étude des espaces préhilbertiens complexes et des espaces hermitiens figure déjà dans Analyse
PC-PSI-PT, dans un point de vue orienté vers l'Analyse. Pour le confort du lecteur, nous rappelons ici ce qui est nécessaire à la suite de notre étude.
Dans ce § 5.2, E désigne un C -ev (non nécessairement de dimension finie).
5.2.1
Produit scalaire hermitien
1) Définition
Définition 1
On appelle produit scalaire hermitien (ou : produit scalaire) sur E toute fsh ϕ
sur E × E telle qu'en notant φ la fh associée à ϕ, on ait :
(i) ∀ x ∈ E, φ(x) 0 (φ est positive)
(ii) ∀ x ∈ E, (φ(x) = 0 ⇐⇒ x = 0) (φ est définie).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Formes sesquilinéaires : généralités, cas de la dimension finie
• Pour simplifier par X ∗ ou par Y (ex. 5.1.1), on se ramènera au produit scalaire canonique (X,Y ) −→ X ∗ Y sur
M n,1 (C), et on fera apparaître un vecteur fixe orthogonal à tout vecteur de M n,1 (C) (ex. 5.1.1 a)).
• Pour résoudre des questions portant sur des transconjuguées de matrices à coefficients complexes, il peut
suffire d'utiliser les formules élémentaires sur la conjugaison, la transposition et la transconjugaison, cf. § 5.1.2 1),
2) pp. 191-192 (ex. 5.1.2 à 5.1.7.).
5.1.1 a) Soit (A,B) ∈ (M n (C)) 2 . Montrer :
∀ (X,Y ) ∈ (M n,1 (C)) 2 , X
∗ AY = X
∗ BY
⇐⇒ A = B.
b) Soit (A,B) ∈ (H n ) 2 . Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (C), X
∗ AX = X
∗ B X
⇐⇒ A = B.
5.1.2 Soit A ∈ M n (C). Montrer que deux quelconques
des trois propriétés suivantes entraînent la troisième :
(i) A ∗ = A ,
(ii) A ∗ A = A,
(iii) A 2 = A.
5.1.3
Soient
A ∈ A n (R), λ ∈ Sp C (A) − {0},
(X,Y ) ∈ (M n,1 (R)) 2 tel que X + iY ∈ SEP(A,λ) .
Montrer :
λ ∈ iR, t XY = 0 et t X X = t Y Y.
5.1.4 Soient X,Y ∈ M n (R), A = X + iY .
a) Montrer que, si A ∈ GL n (C), alors :
A −1 (X 2 + Y 2 ) = A ⇐⇒ XY = Y X.
b) Si A est n’est pas inversible, X 2 + Y 2 peut-elle être
inversible ?
c) Si A est inversible, peut-on avoir X 2 + Y 2 = 0 ?
5.1.5 Soient A,B ∈ H n . Montrer : χ AB ∈ R[X]
(on pourra utiliser χ AB = χ B A , cf. ex. 3.2.12 p. 86) ;
en particulier : tr (AB) ∈ R.
5.1.6 Montrer :
a) H n ∩ T n,s (C) = D n (R)
b) ∀ A ∈ H n , ( t A ∈ H n et A ∈ H n )
c) ∀ A ∈ H n , ∀ P ∈ R[X], P(A) ∈ H n .
5.1.7 Soient H ∈ H n , λ,µ deux vp de H telles que
λ = µ , U (resp. V) un − →
vp pour H associé à λ (resp. µ).
Montrer que V ∗ U = 0 et que U V ∗ est nilpotente.
Exercices
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5.2 Espaces préhilbertiens complexes
et espaces hermitiens
L'étude des espaces préhilbertiens complexes et des espaces hermitiens figure déjà dans Analyse
PC-PSI-PT, dans un point de vue orienté vers l'Analyse. Pour le confort du lecteur, nous rappelons ici ce qui est nécessaire à la suite de notre étude.
Dans ce § 5.2, E désigne un C -ev (non nécessairement de dimension finie).
5.2.1
Produit scalaire hermitien
1) Définition
Définition 1
On appelle produit scalaire hermitien (ou : produit scalaire) sur E toute fsh ϕ
sur E × E telle qu'en notant φ la fh associée à ϕ, on ait :
(i) ∀ x ∈ E, φ(x) 0 (φ est positive)
(ii) ∀ x ∈ E, (φ(x) = 0 ⇐⇒ x = 0) (φ est définie).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Formes sesquilinéaires : généralités, cas de la dimension finie
• Pour simplifier par X ∗ ou par Y (ex. 5.1.1), on se ramènera au produit scalaire canonique (X,Y ) −→ X ∗ Y sur
M n,1 (C), et on fera apparaître un vecteur fixe orthogonal à tout vecteur de M n,1 (C) (ex. 5.1.1 a)).
• Pour résoudre des questions portant sur des transconjuguées de matrices à coefficients complexes, il peut
suffire d'utiliser les formules élémentaires sur la conjugaison, la transposition et la transconjugaison, cf. § 5.1.2 1),
2) pp. 191-192 (ex. 5.1.2 à 5.1.7.).
5.1.1 a) Soit (A,B) ∈ (M n (C)) 2 . Montrer :
∀ (X,Y ) ∈ (M n,1 (C)) 2 , X
∗ AY = X
∗ BY
⇐⇒ A = B.
b) Soit (A,B) ∈ (H n ) 2 . Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (C), X
∗ AX = X
∗ B X
⇐⇒ A = B.
5.1.2 Soit A ∈ M n (C). Montrer que deux quelconques
des trois propriétés suivantes entraînent la troisième :
(i) A ∗ = A ,
(ii) A ∗ A = A,
(iii) A 2 = A.
5.1.3
Soient
A ∈ A n (R), λ ∈ Sp C (A) − {0},
(X,Y ) ∈ (M n,1 (R)) 2 tel que X + iY ∈ SEP(A,λ) .
Montrer :
λ ∈ iR, t XY = 0 et t X X = t Y Y.
5.1.4 Soient X,Y ∈ M n (R), A = X + iY .
a) Montrer que, si A ∈ GL n (C), alors :
A −1 (X 2 + Y 2 ) = A ⇐⇒ XY = Y X.
b) Si A est n’est pas inversible, X 2 + Y 2 peut-elle être
inversible ?
c) Si A est inversible, peut-on avoir X 2 + Y 2 = 0 ?
5.1.5 Soient A,B ∈ H n . Montrer : χ AB ∈ R[X]
(on pourra utiliser χ AB = χ B A , cf. ex. 3.2.12 p. 86) ;
en particulier : tr (AB) ∈ R.
5.1.6 Montrer :
a) H n ∩ T n,s (C) = D n (R)
b) ∀ A ∈ H n , ( t A ∈ H n et A ∈ H n )
c) ∀ A ∈ H n , ∀ P ∈ R[X], P(A) ∈ H n .
5.1.7 Soient H ∈ H n , λ,µ deux vp de H telles que
λ = µ , U (resp. V) un − →
vp pour H associé à λ (resp. µ).
Montrer que V ∗ U = 0 et que U V ∗ est nilpotente.
Exercices