Chapitre 5 • Espaces préhilbertiens complexes
190
Proposition 3
Soient ϕ une fsh sur E × E, φ la fh associée à ϕ. On a :
1) ∀ n ∈ N ∗ , ∀ α 1 ,. . . ,α n ∈ C, ∀ x 1 ,. . . ,x n ∈ E ,
φ
n
k=1
α k x k
=
n
k=1
|α k |
2
φ(x k ) + 2
1k< jn
Ré
α k α j ϕ(x k ,x j )
2) ∀ (α,β) ∈ C
2
, ∀ (x,y) ∈ E
2 ,
φ(αx + βy) = |α|
2
φ(x) + 2 Ré
αβϕ(x,y)
+ |β|
2
φ(y)
3) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) = φ(x) + 2 Ré
ϕ(x,y)
+ φ(y)
4) ∀ (x,y) ∈ E
2
, ϕ(x,y) =
1
4
φ(x + y) − iφ(x + iy) − φ(x − y) + iφ(x − iy)
5) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) + φ(x − y) = 2
φ(x) + φ(y)
.
Preuve
Pour 4), développer le second membre (cf. aussi Analyse PC-PSI-PT, ex. 1.4.1).
Remarque : La formule 4) précédente montre que φ détermine entièrement ϕ (c'est-à-dire,
si φ est une fh, il existe une fsh ϕ unique telle que φ soit la fh associée à ϕ ) ; ϕ est appelée la
forme polaire de φ.
Définition 4
Soit φ : E −→ C une application. On dit que φ est une forme hermitienne si et seulement s'il existe une fsh ϕ : E × E −→ C telle que φ soit la fh associée à ϕ.
Dans cette Déf. 4, on peut remplacer φ : E −→ C par : φ : E −→ R.
Notons H (E) l'ensemble des formes hermitiennes sur E . Il est clair que H (E) est un R -ev, que
l'application U : S H(E) −→ H (E) (qui, à toute fsh ϕ sur E × E fait correspondre la fh associée à ϕ ) et l'application V : H (E) −→ S H(E) (qui à toute fh φ sur E associe la forme polaire de φ) sont des isomorphismes de R -ev réciproques l'un de l'autre.
Remarque :
Si φ est une fh sur E , alors : ∀ x ∈ E, φ(x) ∈ R,
puisque : ∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x) = ϕ(x,x) = φ(x).
Définition 5
Une fh φ sur E est dite définie si et seulement si :
∀ x ∈ E, (φ(x) = 0 ⇒ x = 0) .
Définition 6
On dit que la fh φ est positive si et seulement si :
∀ x ∈ E, φ(x) ∈ R + .
5.1.2
Cas de la dimension finie
1) Transconjugaison
Dans ce § 1), (n, p) ∈ (N ∗ ) 2 .
En pratique, pour montrer qu'une
application
φ : E −→ C
est une forme hermitienne,on construit
une forme sesquilinéaire à symétrie
hermitienne
ϕ : E × E −→ C
telle que :
∀x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cette formule 4) permet d'exprimer ϕ à
l'aide de φ.
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Proposition 3
Soient ϕ une fsh sur E × E, φ la fh associée à ϕ. On a :
1) ∀ n ∈ N ∗ , ∀ α 1 ,. . . ,α n ∈ C, ∀ x 1 ,. . . ,x n ∈ E ,
φ
n
k=1
α k x k
=
n
k=1
|α k |
2
φ(x k ) + 2
1k< jn
Ré
α k α j ϕ(x k ,x j )
2) ∀ (α,β) ∈ C
2
, ∀ (x,y) ∈ E
2 ,
φ(αx + βy) = |α|
2
φ(x) + 2 Ré
αβϕ(x,y)
+ |β|
2
φ(y)
3) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) = φ(x) + 2 Ré
ϕ(x,y)
+ φ(y)
4) ∀ (x,y) ∈ E
2
, ϕ(x,y) =
1
4
φ(x + y) − iφ(x + iy) − φ(x − y) + iφ(x − iy)
5) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) + φ(x − y) = 2
φ(x) + φ(y)
.
Preuve
Pour 4), développer le second membre (cf. aussi Analyse PC-PSI-PT, ex. 1.4.1).
Remarque : La formule 4) précédente montre que φ détermine entièrement ϕ (c'est-à-dire,
si φ est une fh, il existe une fsh ϕ unique telle que φ soit la fh associée à ϕ ) ; ϕ est appelée la
forme polaire de φ.
Définition 4
Soit φ : E −→ C une application. On dit que φ est une forme hermitienne si et seulement s'il existe une fsh ϕ : E × E −→ C telle que φ soit la fh associée à ϕ.
Dans cette Déf. 4, on peut remplacer φ : E −→ C par : φ : E −→ R.
Notons H (E) l'ensemble des formes hermitiennes sur E . Il est clair que H (E) est un R -ev, que
l'application U : S H(E) −→ H (E) (qui, à toute fsh ϕ sur E × E fait correspondre la fh associée à ϕ ) et l'application V : H (E) −→ S H(E) (qui à toute fh φ sur E associe la forme polaire de φ) sont des isomorphismes de R -ev réciproques l'un de l'autre.
Remarque :
Si φ est une fh sur E , alors : ∀ x ∈ E, φ(x) ∈ R,
puisque : ∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x) = ϕ(x,x) = φ(x).
Définition 5
Une fh φ sur E est dite définie si et seulement si :
∀ x ∈ E, (φ(x) = 0 ⇒ x = 0) .
Définition 6
On dit que la fh φ est positive si et seulement si :
∀ x ∈ E, φ(x) ∈ R + .
5.1.2
Cas de la dimension finie
1) Transconjugaison
Dans ce § 1), (n, p) ∈ (N ∗ ) 2 .
En pratique, pour montrer qu'une
application
φ : E −→ C
est une forme hermitienne,on construit
une forme sesquilinéaire à symétrie
hermitienne
ϕ : E × E −→ C
telle que :
∀x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x).
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Cette formule 4) permet d'exprimer ϕ à
l'aide de φ.
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