5.1 • Formes sesquilinéaires
189
La Proposition suivante est immédiate et d'un usage commode.
Proposition 2
Pour qu'une application ϕ : E × E −→ C soit une fsh, il faut et il suffit que l'on ait :
(i) ∀ (x,y) ∈ E × E, ϕ(y,x) = ϕ(x,y)
(ϕ est à symétrie hermitienne)
(ii) ∀ β ∈ C, ∀ (x,y,y ) ∈ E
3
, ϕ(x,βy + y ) = βϕ(x,y) + ϕ(x,y )
(ϕ est linéaire par rapport à la 2 ème place).
Définition 3
Soit ϕ une fsh sur E × E. On appelle forme hermitienne associée à ϕ l'application,
souvent notée φ, de E dans C, définie par :
∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x).
Remarque :
φ est à valeurs dans R .
On dit aussi forme quadratique hermitienne au lieu de forme hermitienne.
On abrège ici forme hermitienne en fh.
Remarquer le parallélisme dans le vocabulaire :
en algèbre bilinéaire :
forme bilinéaire
forme bilinéaire symétrique
forme quadratique
en algèbre sesquilinéaire :
forme sesquilinéaire
forme sesquilinéaire hermitienne
forme hermitienne
Exemples :
1) Le produit scalaire hermitien canonique sur C n , défini par :
C
n × C
n −→ C
(x 1 ,. . . ,x n ),(y 1 ,. . . ,y n )
−→
n
k=1
x k y k
,
(cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.4.1, Exemple 1)) est une fsh et la fh associée est :
C
n −→ C
(x 1 ,. . . ,x n ) −→
n
k=1
|x k | 2
.
2) L'application ϕ :
C 2 × C 2 −→ C
(x 1 ,x 2 ),(y 1 ,y 2 )
−→ x 1 y 2 + x 2 y 1
est une fsh et la fh associée est
φ :
C 2 −→ C
(x 1 ,x 2 ) −→ x 1 x 2 + x 2 x 1
.
3) Notons E le C -ev des applications continues de [0; 1] dans C ; l'application
ϕ : E × E −→ C
( f,g) −→
1
0
f g
est une fsh, et la fh associée est : φ :
E −→ C
f −→
1
0
| f | 2
.
La Proposition suivante est immédiate.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Autrement dit,la symétrie hermitienne
et la linéarité par rapport à la deuxième
place entraînent la semi-linéarité par
rapport à la première place.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La formule
∀x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x)
permet d'exprimer φ à l'aide de ϕ .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exemple important.
189
La Proposition suivante est immédiate et d'un usage commode.
Proposition 2
Pour qu'une application ϕ : E × E −→ C soit une fsh, il faut et il suffit que l'on ait :
(i) ∀ (x,y) ∈ E × E, ϕ(y,x) = ϕ(x,y)
(ϕ est à symétrie hermitienne)
(ii) ∀ β ∈ C, ∀ (x,y,y ) ∈ E
3
, ϕ(x,βy + y ) = βϕ(x,y) + ϕ(x,y )
(ϕ est linéaire par rapport à la 2 ème place).
Définition 3
Soit ϕ une fsh sur E × E. On appelle forme hermitienne associée à ϕ l'application,
souvent notée φ, de E dans C, définie par :
∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x).
Remarque :
φ est à valeurs dans R .
On dit aussi forme quadratique hermitienne au lieu de forme hermitienne.
On abrège ici forme hermitienne en fh.
Remarquer le parallélisme dans le vocabulaire :
en algèbre bilinéaire :
forme bilinéaire
forme bilinéaire symétrique
forme quadratique
en algèbre sesquilinéaire :
forme sesquilinéaire
forme sesquilinéaire hermitienne
forme hermitienne
Exemples :
1) Le produit scalaire hermitien canonique sur C n , défini par :
C
n × C
n −→ C
(x 1 ,. . . ,x n ),(y 1 ,. . . ,y n )
−→
n
k=1
x k y k
,
(cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.4.1, Exemple 1)) est une fsh et la fh associée est :
C
n −→ C
(x 1 ,. . . ,x n ) −→
n
k=1
|x k | 2
.
2) L'application ϕ :
C 2 × C 2 −→ C
(x 1 ,x 2 ),(y 1 ,y 2 )
−→ x 1 y 2 + x 2 y 1
est une fsh et la fh associée est
φ :
C 2 −→ C
(x 1 ,x 2 ) −→ x 1 x 2 + x 2 x 1
.
3) Notons E le C -ev des applications continues de [0; 1] dans C ; l'application
ϕ : E × E −→ C
( f,g) −→
1
0
f g
est une fsh, et la fh associée est : φ :
E −→ C
f −→
1
0
| f | 2
.
La Proposition suivante est immédiate.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Autrement dit,la symétrie hermitienne
et la linéarité par rapport à la deuxième
place entraînent la semi-linéarité par
rapport à la première place.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
ométrie Monier
La formule
∀x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x)
permet d'exprimer φ à l'aide de ϕ .
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Exemple important.