Chapitre 5 • Espaces préhilbertiens complexes
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5.1 Formes sesquilinéaires
5.1.1 Généralités
Dans ce § 5.1.1, E désigne un C -ev.
Définition 1
On appelle forme sesquilinéaire sur E × E (ou : sur E) toute application
ϕ : E × E −→ C telle que :
(i) ∀ α ∈ C, ∀ (x,x ,y) ∈ E
3
, ϕ(αx + x ,y) = αϕ(x,y) + ϕ(x ,y)
(ϕ est semi-linéaire par rapport à la 1 ère place)
(ii) ∀ β ∈ C, ∀ (x,y,y ) ∈ E
3
, ϕ(x,βy + y ) = βϕ(x,y) + ϕ(x,y )
(ϕ est linéaire par rapport à la 2 ème place).
Il est immédiat que l'ensemble des formes sesquilinéaires sur E × E est un C -ev.
Proposition 1
Soient ϕ une forme sesquilinéaire sur E × E, (n, p) ∈ (N ∗ )
2 , α 1 ,. . . ,α n ,
β 1 ,. . . ,β p ∈ C, x 1 ,. . . ,x n , y 1 ,. . . ,y p ∈ E . On a alors :
ϕ
n
k=1
α k x k ,
p
j=1
β j y j
=
1kn
1 j p
α k β j ϕ
x k ,y j
.
Preuve
On a, par récurrence sur n :
∀ Y ∈ E, ϕ
n
k=1
α k x k ,Y
=
n
k=1
α k ϕ(x k ,Y ),
d'où :
ϕ
n
k=1
α k x k ,
p
j=1
β j y j
=
n
k=1
α k ϕ
x k ,
p
j=1
β j y j
=
n
k=1
α k
p
j=1
β j ϕ(x k ,y j )
=
1kn 1 j p
α k β j ϕ(x k ,y j ).
᭿
Définition 2
Une forme sesquilinéaire ϕ sur E × E est dite à symétrie hermitienne si et seulement si :
∀ (x,y) ∈ E
2
, ϕ(y,x) = ϕ(x,y).
Au lieu de forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne, on dit aussi forme sesquilinéaire hermitienne, qu'on abrège ici en fsh.
Nous notons S H(E) l'ensemble des fsh sur E × E . Il est immédiat que S H(E) est un
R -ev (pour les lois usuelles) mais (sauf si E = {0} ) n'est pas un C -ev ; en effet, si ϕ est
une fsh sur E × E autre que l'application nulle, il existe (x,y) ∈ E × E tel que
ϕ(x,y) = 0, et on a alors
(iϕ)(y,x) = iϕ(y,x) = i ϕ(x,y)
(iϕ)(x,y) = −i ϕ(x,y)
, donc iϕ ∈ S H(E).
Bien noter la conjugaison sur le scalaire
relatif à la première place.
Au lieu de « place », on dit aussi
« variable ».
Développement par semi-linéarité par
rapport à la 1 ère place et linéarité par
rapport à la 2 ème place.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier