5.1 • Formes sesquilinéaires
191
Définition 1
Soit A ∈ M n, p (C). On appelle transconjuguée de A, et on note A ∗ , la matrice de
M p,n (C) définie par : A ∗ =
t A.
En notant A = (a i j ) 1in
1 j p
, on a A ∗ =
a i j
1 j p
1in
; A ∗ est donc aussi la conjuguée de la transposée de A : A ∗ = t A.
Exemple :
Si A =
1
i
0
2 + i 3 1− i
, alors A ∗ =
1 2− i
−i
3
0 1+ i
.
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 1
1) ∀ (A,B) ∈ (M n, p (C))
2
, (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗
2) ∀ A ∈ M n, p (C), A ∗∗ = A
3) ∀ α ∈ C, ∀ A ∈ M n, p (C), (α A) ∗ = α A ∗
4) ∀ A ∈ M n, p (C),∀ B ∈ M p,q (C), (AB) ∗ = B ∗ A ∗
5) ∀ A ∈ M n (C),
A ∈ GL n (C) ⇐⇒ A ∗ ∈ GL n (C)
6) ∀ A ∈ GL n (C), (A −1 ) ∗ = (A ∗ ) −1
7) ∀ A ∈ M n, p (C), rg(A ∗ ) = rg (A)
8) ∀ A ∈ M n (C),
tr (A ∗ ) = tr (A) et det(A ∗ ) = det (A)
9) ∀ A ∈ M n (C), Sp C (A ∗ ) = Sp C (A).
Proposition 2
Transconjugaison par blocs
On a, pour toute décomposition en blocs :
A 11 . . . A 1t
. . .
. . .
A s1 . . . A st
∗
=
A ∗
11 . . . A ∗
s1
. . .
. . .
A ∗
1t
. . . A ∗
st
.
Exemples :
Soient a ∈ C, V ∈ M n,1 (C), A,B,C,D ∈ M n (C) .
On a :
a
V
∗
= (a V ∗ ),
A B
C D
=
A ∗ C ∗
B ∗ D ∗
.
2) Matrices hermitiennes
Dans ce § 2), n ∈ N ∗ .
Définition 2
Une matrice A de M n (C) est dite hermitienne si et seulement si :
A ∗ = A.
On note H n l'ensemble des matrices hermitiennes d'ordre n.
Ainsi, la transconjuguée de A est la
transposée de la conjuguée de A.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Transposition et conjugaison
commutent :
∀ A ∈ M n, p (C), t A = t A.
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Gé
ométrie Monier
Propriétés de calcul sur les transconjuguées.
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ométrie Monier
Autrement dit,pour transconjuguer une
matrice décomposée en blocs : on
échange les blocs (en les écrivant en
colonnes de blocs au lieu de lignes de
blocs,par exemple),et on transconjugue
chaque bloc.
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Ainsi, pour toute A ∈ M n (C) :
A ∈ H n ⇐⇒ A ∗ = A.
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Exercices 5.1.1 à 5.1.4.
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Définition 1
Soit A ∈ M n, p (C). On appelle transconjuguée de A, et on note A ∗ , la matrice de
M p,n (C) définie par : A ∗ =
t A.
En notant A = (a i j ) 1in
1 j p
, on a A ∗ =
a i j
1 j p
1in
; A ∗ est donc aussi la conjuguée de la transposée de A : A ∗ = t A.
Exemple :
Si A =
1
i
0
2 + i 3 1− i
, alors A ∗ =
1 2− i
−i
3
0 1+ i
.
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 1
1) ∀ (A,B) ∈ (M n, p (C))
2
, (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗
2) ∀ A ∈ M n, p (C), A ∗∗ = A
3) ∀ α ∈ C, ∀ A ∈ M n, p (C), (α A) ∗ = α A ∗
4) ∀ A ∈ M n, p (C),∀ B ∈ M p,q (C), (AB) ∗ = B ∗ A ∗
5) ∀ A ∈ M n (C),
A ∈ GL n (C) ⇐⇒ A ∗ ∈ GL n (C)
6) ∀ A ∈ GL n (C), (A −1 ) ∗ = (A ∗ ) −1
7) ∀ A ∈ M n, p (C), rg(A ∗ ) = rg (A)
8) ∀ A ∈ M n (C),
tr (A ∗ ) = tr (A) et det(A ∗ ) = det (A)
9) ∀ A ∈ M n (C), Sp C (A ∗ ) = Sp C (A).
Proposition 2
Transconjugaison par blocs
On a, pour toute décomposition en blocs :
A 11 . . . A 1t
. . .
. . .
A s1 . . . A st
∗
=
A ∗
11 . . . A ∗
s1
. . .
. . .
A ∗
1t
. . . A ∗
st
.
Exemples :
Soient a ∈ C, V ∈ M n,1 (C), A,B,C,D ∈ M n (C) .
On a :
a
V
∗
= (a V ∗ ),
A B
C D
=
A ∗ C ∗
B ∗ D ∗
.
2) Matrices hermitiennes
Dans ce § 2), n ∈ N ∗ .
Définition 2
Une matrice A de M n (C) est dite hermitienne si et seulement si :
A ∗ = A.
On note H n l'ensemble des matrices hermitiennes d'ordre n.
Ainsi, la transconjuguée de A est la
transposée de la conjuguée de A.
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∀ A ∈ M n, p (C), t A = t A.
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matrice décomposée en blocs : on
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Ainsi, pour toute A ∈ M n (C) :
A ∈ H n ⇐⇒ A ∗ = A.
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