Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
186
P 4.1 Valeur absolue d'une matrice symétrique
réelle
On se propose,dans ce problème P 4.1,d’étendre aux matrices symétriques réelles
la notion de valeur absolue, déjà connue sur les nombres réels.
Pour toute S ∈ S +
n , on note S
1
2 l’unique élément de S +
n tel que :
(S
1
2 ) 2 = S .
Dans plusieurs questions (1), 4), 5), 6)), on utilisera le théorème fondamental.
Manipuler précautionneusement la relation dans S n (R).
Pour A ∈ S n (R), on note |A| = (A 2 )
1
2 (cf. ex. 4.5.62
p. 184).
1) Montrer, pour toute A de S n (R) :
A |A|, −A |A|, |A| = A ⇐⇒ A ∈ S +
n .
2) Montrer : ∀ α ∈ R, ∀ A ∈ S n (R), |α A| = |α| |A|.
3) Calculer |A| dans les exemples suivants :
A =
1 0
0 −1
, A =
0 1
1 0
, A =
1 2
2 1
.
4) a) Soient A,B ∈ S n (R) telles que AB = B A.
Montrer :
A B
−A B
⇐⇒ | A| B.
(Utiliser l'ex 4.5.73 p. 185).
b) A-t-on :
∀ (A,B) ∈ (S n (R)) 2 ,
A B
−A B
⇒ | A| B
?
5) a) Soient A,B ∈ S n (R) telles que AB = B A.
Montrer :
|A + B| |A| + |B| .
(Utiliser l'ex. 4.5.73).
b) A-t-on :
∀ (A,B) ∈ (S n (R)) 2 , |A + B| |A| + |B| ?
6) Montrer :
∀ A ∈ S n (R), ∀ Ω ∈ O n (R), | t Ω AΩ| = t Ω|A|Ω.
Problème