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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
4.5.66 Soit A ∈ A n (R) ∩ GL n (R) .
Trouver toutes les B ∈ S ++
n
telles que :
AB = B A et (AB) 2 = −I n .
(Utiliser les ex. 4.5.62 et 4.5.65).
4.5.67 a) Soient (E,< ·,· >) un eve, f,g ∈ L(E) tels
que : ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||g(x)||.
Démontrer qu'il existe h ∈ O(E) tel que : f = h ◦ g.
b) Montrer, pour tout (A,B) de (M n (R)) 2 :
t A A = t B B ⇐⇒
∃Ω ∈ O n (R), A = Ω B
.
4.5.68 Décomposition polaire dans GL n (R)
Montrer :
∀ A ∈ GL n (R), ∃!(Ω,S) ∈ O n (R) × S ++
n , A = Ω S .
(On pourra utiliser l'ex. 4.5.62).
On dit que A = Ω S est la décomposition polaire de
A ∈ GL n (R).
4.5.69 Décomposition polaire dans M n (R)
Soit M ∈ M n (R). Montrer qu'il existe (Ω,S) ∈ O n (R) × S
+
n
tel que M = Ω S , et que S est unique.
On notera qu'il peut ne pas y avoir unicité de Ω.
Application : Retrouver le résultat de l'ex. 4.5.67 b).
4.5.70 Pour A ∈ M n (R) donnée, résoudre l'équation
t X X + t X A + t AX = 0 , d'inconnue X ∈ M n (R).
(Utiliser l'ex. 4.5.69).
4.5.71 Soient (A,B) ∈ (S n (R)) 2 tel que 0 B A.
Résoudre le système d'équations
t X X + t Y Y = A
t XY + t Y X = B
,
d'inconnue (X,Y ) ∈ (M n (R)) 2 . (Utiliser l'ex. 4.5.69).
4.5.72 Soit A ∈ M n (R). Montrer qu'il existe U,V orthogonales, D diagonale à termes diagonaux 0, telles que :
A = U DV.
(Utiliser l'ex. 4.5.69).
4.5.73 Orthodiagonalisation simultanée d'une famille
commutative de matrices symétriques
Soient I un ensemble non vide, (S i ) i∈I une famille
d'éléments de S n (R) commutant deux à deux. Démontrer
qu'il existe Ω ∈ O n (R) telle que :
∀ i ∈ I, Ω
−1 S i Ω ∈ D n (R).
4.5.74 Soit (A,B) ∈ (S +
n ) 2 (resp. (S
++
n )
2
) tel que
AB = B A.
Montrer :
AB ∈ S +
n (resp. S ++
n ).
(Utiliser l'ex 4.5.73).
4.5.75 Soient A,B ∈ S n (R) telles que
AB = B A.
Montrer : (0 A B ⇒ A 2 B 2 ) .
(Utiliser l'ex. 4.5.73).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
4.5.66 Soit A ∈ A n (R) ∩ GL n (R) .
Trouver toutes les B ∈ S ++
n
telles que :
AB = B A et (AB) 2 = −I n .
(Utiliser les ex. 4.5.62 et 4.5.65).
4.5.67 a) Soient (E,< ·,· >) un eve, f,g ∈ L(E) tels
que : ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||g(x)||.
Démontrer qu'il existe h ∈ O(E) tel que : f = h ◦ g.
b) Montrer, pour tout (A,B) de (M n (R)) 2 :
t A A = t B B ⇐⇒
∃Ω ∈ O n (R), A = Ω B
.
4.5.68 Décomposition polaire dans GL n (R)
Montrer :
∀ A ∈ GL n (R), ∃!(Ω,S) ∈ O n (R) × S ++
n , A = Ω S .
(On pourra utiliser l'ex. 4.5.62).
On dit que A = Ω S est la décomposition polaire de
A ∈ GL n (R).
4.5.69 Décomposition polaire dans M n (R)
Soit M ∈ M n (R). Montrer qu'il existe (Ω,S) ∈ O n (R) × S
+
n
tel que M = Ω S , et que S est unique.
On notera qu'il peut ne pas y avoir unicité de Ω.
Application : Retrouver le résultat de l'ex. 4.5.67 b).
4.5.70 Pour A ∈ M n (R) donnée, résoudre l'équation
t X X + t X A + t AX = 0 , d'inconnue X ∈ M n (R).
(Utiliser l'ex. 4.5.69).
4.5.71 Soient (A,B) ∈ (S n (R)) 2 tel que 0 B A.
Résoudre le système d'équations
t X X + t Y Y = A
t XY + t Y X = B
,
d'inconnue (X,Y ) ∈ (M n (R)) 2 . (Utiliser l'ex. 4.5.69).
4.5.72 Soit A ∈ M n (R). Montrer qu'il existe U,V orthogonales, D diagonale à termes diagonaux 0, telles que :
A = U DV.
(Utiliser l'ex. 4.5.69).
4.5.73 Orthodiagonalisation simultanée d'une famille
commutative de matrices symétriques
Soient I un ensemble non vide, (S i ) i∈I une famille
d'éléments de S n (R) commutant deux à deux. Démontrer
qu'il existe Ω ∈ O n (R) telle que :
∀ i ∈ I, Ω
−1 S i Ω ∈ D n (R).
4.5.74 Soit (A,B) ∈ (S +
n ) 2 (resp. (S
++
n )
2
) tel que
AB = B A.
Montrer :
AB ∈ S +
n (resp. S ++
n ).
(Utiliser l'ex 4.5.73).
4.5.75 Soient A,B ∈ S n (R) telles que
AB = B A.
Montrer : (0 A B ⇒ A 2 B 2 ) .
(Utiliser l'ex. 4.5.73).