Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
184
a) Montrer qu'il existe n + 1 formes linéaires ϕ 0 ,. . . ,ϕ n
sur R n [X] et n + 1 réels α 0 ,. . . ,α n tels que :
∀ (P,Q) ∈ (R n [X]) 2 ,
ϕ(P Q) =
n
i=0
ϕ i (P)ϕ i (Q)
ϕ(XP Q) =
n
i=0
α i ϕ i (P)ϕ i (Q)
.
b) En déduire qu'il existe n + 1 réels a 0 ,. . . ,a n tels que :
∀ (P,Q) ∈ (R n [X]) 2 , ϕ(P Q) =
n
i=0
a 2
i P(α i )Q(α i ).
4.5.55 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C) telle que :
t A = A et A + A ∈ S ++
n .
Montrer qu'il existe (t 1 ,. . . ,t n ) ∈ R n et P ∈ GL n (R) tels
que :
t P AP = diag (1 + it 1 ,. . . ,1 + it n ).
4.5.56 Soient n ∈ N − {0,1}, A ∈ GL n (R),
U ∈ M n,1 (R) tel que ||U || = 1
où || · || est la norme
euclidienne canonique sur M n,1 (R)
. Montrer :
||AU ||
2 >
(det (A))
2
(tr ( t A A)) n−1 (n − 1)
n−1 .
(On pourra utiliser la comparaison entre moyennes arithmétique et géométrique, Analyse PCSI-PTSI, P 1.1).
4.5.57 Montrer :
∀ A ∈ S +
n , ∀ Ω ∈ O n (R), |tr (AΩ)| tr (A) .
4.5.58 Soient n, p ∈ N
∗
, A ∈ M n, p (R). Démontrer qu'il
existe α ∈ R + , U ∈ M p,1 (R), V ∈ M n,1 (R) unitaires
(pour la norme euclidienne usuelle ||.|| 2 sur M p,1 (R) ou
sur M n,1 (R) ) tels que :
AU = αV
t
AV = αU
∀ X ∈ M n,1 (R), ||AX|| 2 α||X|| 2 .
4.5.59 a) Soit S ∈ S n (R) .
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) tr (S) = 0
(ii) Il existe une matrice symétrique A à éléments diagonaux tous nuls et une matrice orthogonale Ω telles que
S = Ω AΩ −1 .
b) Soient (E,< ·,· >) un eve, f ∈ L(E) symétrique, φ la
fq définie sur E par :
∀ x ∈ E, φ(x) = < x, f (x) > .
Montrer que tr ( f ) = 0 si et seulement s'il existe une b.o.n.
de E formée de vecteurs isotropes pour φ.
4.5.60 Soient (E,< ·,· >) un eve, p,q deux projecteurs
orthogonaux de E , F = Im( p), G = Im(q) . Montrer que
les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) p ◦ q = q ◦ p
(ii) Les sev (F ∩ G) ⊥ ∩ F et (F ∩ G) ⊥ ∩ G sont orthogonaux.
4.5.61 Soient E un eve,
A = { f ∈ L(E); f ◦ f ∗ ◦ f = f } .
a) Soit f ∈ L(E) . Montrer que les propriétés suivantes
sont deux à deux équivalentes :
(i) f ∈ A
(ii) f ∗ ◦ f est un projecteur orthogonal
(iii) ∀ x ∈ (Ker ( f ))
⊥
, || f (x)|| = ||x||.
b) Soit f ∈ A. Montrer :
(Ker( f ))
⊥ = {x ∈ E; || f (x)|| = ||x||}
= {x ∈ E; ( f
∗ ◦ f )(x) = x}
.
c) Etablir que O(E) est ouvert et fermé dans A.
4.5.62 Racine carrée dans S +
n
Montrer : ∀ S ∈ S +
n , ∃!R ∈ S +
n , S = R 2 .
(Cf. aussi ex. 4.5.25 p. 181).
On dit que R est la racine carrée de S, et on note R =
√
S
ou R = S
1
2 .
4.5.63 a) Soient Ω ∈ O n (R), S ∈ S +
n . Montrer :
Ω ∼ S ⇒ Ω = S = I n .
b) Soient Ω ∈ O n (R),S ∈ S ++
n .
Montrer : Ω S ∈ S +
n ⇒ Ω = I n .
(Utiliser l'ex. 4.5.62).
4.5.64 Soient M ∈ M n (R) . Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∃S ∈ S ++
n , M ∼ S
(ii) ∃(A,B) ∈ (S ++
n ) 2 , M = AB .
(Utiliser l'ex. 4.5.62 ; cf. aussi ex. 4.5.48 p. 183.)
4.5.65 Soient A ∈ S +
n , R = A
1
2 (cf. ex. 4.5.62),
M ∈ M n (R) . Montrer :
AM = M A ⇐⇒ RM = M R.
(On pourra montrer que R est un polynôme en A).
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a) Montrer qu'il existe n + 1 formes linéaires ϕ 0 ,. . . ,ϕ n
sur R n [X] et n + 1 réels α 0 ,. . . ,α n tels que :
∀ (P,Q) ∈ (R n [X]) 2 ,
ϕ(P Q) =
n
i=0
ϕ i (P)ϕ i (Q)
ϕ(XP Q) =
n
i=0
α i ϕ i (P)ϕ i (Q)
.
b) En déduire qu'il existe n + 1 réels a 0 ,. . . ,a n tels que :
∀ (P,Q) ∈ (R n [X]) 2 , ϕ(P Q) =
n
i=0
a 2
i P(α i )Q(α i ).
4.5.55 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C) telle que :
t A = A et A + A ∈ S ++
n .
Montrer qu'il existe (t 1 ,. . . ,t n ) ∈ R n et P ∈ GL n (R) tels
que :
t P AP = diag (1 + it 1 ,. . . ,1 + it n ).
4.5.56 Soient n ∈ N − {0,1}, A ∈ GL n (R),
U ∈ M n,1 (R) tel que ||U || = 1
où || · || est la norme
euclidienne canonique sur M n,1 (R)
. Montrer :
||AU ||
2 >
(det (A))
2
(tr ( t A A)) n−1 (n − 1)
n−1 .
(On pourra utiliser la comparaison entre moyennes arithmétique et géométrique, Analyse PCSI-PTSI, P 1.1).
4.5.57 Montrer :
∀ A ∈ S +
n , ∀ Ω ∈ O n (R), |tr (AΩ)| tr (A) .
4.5.58 Soient n, p ∈ N
∗
, A ∈ M n, p (R). Démontrer qu'il
existe α ∈ R + , U ∈ M p,1 (R), V ∈ M n,1 (R) unitaires
(pour la norme euclidienne usuelle ||.|| 2 sur M p,1 (R) ou
sur M n,1 (R) ) tels que :
AU = αV
t
AV = αU
∀ X ∈ M n,1 (R), ||AX|| 2 α||X|| 2 .
4.5.59 a) Soit S ∈ S n (R) .
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) tr (S) = 0
(ii) Il existe une matrice symétrique A à éléments diagonaux tous nuls et une matrice orthogonale Ω telles que
S = Ω AΩ −1 .
b) Soient (E,< ·,· >) un eve, f ∈ L(E) symétrique, φ la
fq définie sur E par :
∀ x ∈ E, φ(x) = < x, f (x) > .
Montrer que tr ( f ) = 0 si et seulement s'il existe une b.o.n.
de E formée de vecteurs isotropes pour φ.
4.5.60 Soient (E,< ·,· >) un eve, p,q deux projecteurs
orthogonaux de E , F = Im( p), G = Im(q) . Montrer que
les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) p ◦ q = q ◦ p
(ii) Les sev (F ∩ G) ⊥ ∩ F et (F ∩ G) ⊥ ∩ G sont orthogonaux.
4.5.61 Soient E un eve,
A = { f ∈ L(E); f ◦ f ∗ ◦ f = f } .
a) Soit f ∈ L(E) . Montrer que les propriétés suivantes
sont deux à deux équivalentes :
(i) f ∈ A
(ii) f ∗ ◦ f est un projecteur orthogonal
(iii) ∀ x ∈ (Ker ( f ))
⊥
, || f (x)|| = ||x||.
b) Soit f ∈ A. Montrer :
(Ker( f ))
⊥ = {x ∈ E; || f (x)|| = ||x||}
= {x ∈ E; ( f
∗ ◦ f )(x) = x}
.
c) Etablir que O(E) est ouvert et fermé dans A.
4.5.62 Racine carrée dans S +
n
Montrer : ∀ S ∈ S +
n , ∃!R ∈ S +
n , S = R 2 .
(Cf. aussi ex. 4.5.25 p. 181).
On dit que R est la racine carrée de S, et on note R =
√
S
ou R = S
1
2 .
4.5.63 a) Soient Ω ∈ O n (R), S ∈ S +
n . Montrer :
Ω ∼ S ⇒ Ω = S = I n .
b) Soient Ω ∈ O n (R),S ∈ S ++
n .
Montrer : Ω S ∈ S +
n ⇒ Ω = I n .
(Utiliser l'ex. 4.5.62).
4.5.64 Soient M ∈ M n (R) . Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∃S ∈ S ++
n , M ∼ S
(ii) ∃(A,B) ∈ (S ++
n ) 2 , M = AB .
(Utiliser l'ex. 4.5.62 ; cf. aussi ex. 4.5.48 p. 183.)
4.5.65 Soient A ∈ S +
n , R = A
1
2 (cf. ex. 4.5.62),
M ∈ M n (R) . Montrer :
AM = M A ⇐⇒ RM = M R.
(On pourra montrer que R est un polynôme en A).