183
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
4.5.40 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ S ++
n
telles que A B.
Démontrer : B −1 A −1 .
4.5.41 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ S ++
n , B ∈ S n (R).
Montrer : det(A) |det(A + iB)|,
et étudier le cas d'égalité.
4.5.42 Soient M ∈ M n (R), A = t M M − M t M . On
suppose A ∈ S +
n ; montrer : t M M = M t M.
4.5.43 Soient E un eve, f ∈ O(E) − SO(E) ; montrer :
−1 ∈ Sp R ( f ).
4.5.44 Soient A = (a i j ) 1i, jn ∈ S n (R)
et D = diag (a 11 ,. . . ,a nn ).
Montrer : A ∼ D ⇒ A = D.
(Rappelons que la notation A ∼ D signifie que A et D
sont semblables, c'est-à-dire :
∃ P ∈ GL n (R), D = P −1 AP,
cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.4 Déf. 1).
On pourra examiner le coefficient de λ
n−2 dans χ A (λ).
4.5.45 Soient n ∈ N ∗ , (A k ) k∈N ,(B k ) k∈N deux suites dans
S n (R) telles que A 2
k + B 2
k − − →
k∞
0. Montrer :
A k − − →
k∞
0 et B k − − →
k∞
0.
4.5.46 Soient n ∈ N ∗ , (A k ) k∈N une suite dans S n (R) .
a) Montrer : ∀ k ∈ N, I n + A 2
k ∈ GL n (R) .
b) On note, pour k ∈ N, B k = (I n + A 2
k ) −1 A k .
On suppose (A k ) k∈N bornée et B k − − →
k∞
0. Démontrer :
A k − − →
k∞
0 .
4.5.47 Soient Ω ∈ O n (R) et, pour tout k de N ∗ ,
A k =
1
k
k
i=0
Ω
i . Trouver lim
k∞
A k .
4.5.48 a) Soit (A,B) ∈ S ++
n × S n (R).
α ) Montrer que AB est diagonalisable (cf. aussi
ex. 4.5.37 p. 182).
β ) Etablir : Sp R (AB) ⊂ R ∗
+ ⇐⇒ B ∈ S ++
n .
b) Soit M ∈ M n (R) . Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∃(A,B) ∈ (S ++
n ) 2 , M = AB
(ii) M est diagonalisable dans M n (R) et Sp R (M) ⊂ R ∗
+ .
c) En déduire que −I n n'est pas le produit de quatre éléments de S ++
n .
4.5.49 Mineurs de Gauss
Soit A = (a i j ) i j ∈ S n (R) ; pour chaque p de {1,. . . ,n}, on
note A p = (a i j ) 1i, j p ∈ S p (R) .
a) α) Montrer :
A ∈ S +
n ⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) 0
.
β) La réciproque du résultat précédent est-elle vraie ?
b) α) Démontrer :
A ∈ S ++
n ⇐⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) > 0
.
β) En déduire que S ++
n est ouvert dans S n (R) .
4.5.50
Soient A ∈ M n (R), D ∈ D n (R) telles que
t A A = D 2 . Montrer qu'il existe Ω ∈ O n (R) telle que
A = Ω D (cf. aussi plus loin ex. 4.5.69 p. 185).
Rappelons qu'on a défini dans S n (R) les relations et <
par (cf. 4.5.3 Rem. 2) p. 171) :
A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n
A < B ⇐⇒ B − A ∈ S
++
n .
4.5.51 Soient A,B ∈ S n (R) telles que A B, et
E = {S ∈ S n (R); A S B}. Montrer que E est une partie compacte de S n (R).
(On pourra utiliser l'ex. 4.5.25 p. 181).
4.5.52 Soient n ∈ N − {0,1}, p ∈ N tel que
1 < p < n, A ∈ M p (R), B ∈ M p,n− p (R) ,
C ∈ M n− p, p (R), D ∈ M n− p (R), Ω =
A B
C D
.
On suppose : Ω ∈ O n (R).
a) Montrer : |det (A)| = |det(D)| . (On pourra utiliser l'ex.
3.2.12 p. 86).
b) Etablir : |det (A)| ∈ [0; 1] .
4.5.53 Soient A,B ∈ S n (R). On suppose A ∈ S ++
n et AB
nilpotente. Montrer B = 0.
4.5.54 Soient n ∈ N et ϕ une forme linéaire sur
R 2n+1 [X] telle que :
∀ P ∈ R n [X] − {0}, ϕ(P 2 ) > 0 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
4.5.40 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ S ++
n
telles que A B.
Démontrer : B −1 A −1 .
4.5.41 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ S ++
n , B ∈ S n (R).
Montrer : det(A) |det(A + iB)|,
et étudier le cas d'égalité.
4.5.42 Soient M ∈ M n (R), A = t M M − M t M . On
suppose A ∈ S +
n ; montrer : t M M = M t M.
4.5.43 Soient E un eve, f ∈ O(E) − SO(E) ; montrer :
−1 ∈ Sp R ( f ).
4.5.44 Soient A = (a i j ) 1i, jn ∈ S n (R)
et D = diag (a 11 ,. . . ,a nn ).
Montrer : A ∼ D ⇒ A = D.
(Rappelons que la notation A ∼ D signifie que A et D
sont semblables, c'est-à-dire :
∃ P ∈ GL n (R), D = P −1 AP,
cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.4 Déf. 1).
On pourra examiner le coefficient de λ
n−2 dans χ A (λ).
4.5.45 Soient n ∈ N ∗ , (A k ) k∈N ,(B k ) k∈N deux suites dans
S n (R) telles que A 2
k + B 2
k − − →
k∞
0. Montrer :
A k − − →
k∞
0 et B k − − →
k∞
0.
4.5.46 Soient n ∈ N ∗ , (A k ) k∈N une suite dans S n (R) .
a) Montrer : ∀ k ∈ N, I n + A 2
k ∈ GL n (R) .
b) On note, pour k ∈ N, B k = (I n + A 2
k ) −1 A k .
On suppose (A k ) k∈N bornée et B k − − →
k∞
0. Démontrer :
A k − − →
k∞
0 .
4.5.47 Soient Ω ∈ O n (R) et, pour tout k de N ∗ ,
A k =
1
k
k
i=0
Ω
i . Trouver lim
k∞
A k .
4.5.48 a) Soit (A,B) ∈ S ++
n × S n (R).
α ) Montrer que AB est diagonalisable (cf. aussi
ex. 4.5.37 p. 182).
β ) Etablir : Sp R (AB) ⊂ R ∗
+ ⇐⇒ B ∈ S ++
n .
b) Soit M ∈ M n (R) . Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∃(A,B) ∈ (S ++
n ) 2 , M = AB
(ii) M est diagonalisable dans M n (R) et Sp R (M) ⊂ R ∗
+ .
c) En déduire que −I n n'est pas le produit de quatre éléments de S ++
n .
4.5.49 Mineurs de Gauss
Soit A = (a i j ) i j ∈ S n (R) ; pour chaque p de {1,. . . ,n}, on
note A p = (a i j ) 1i, j p ∈ S p (R) .
a) α) Montrer :
A ∈ S +
n ⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) 0
.
β) La réciproque du résultat précédent est-elle vraie ?
b) α) Démontrer :
A ∈ S ++
n ⇐⇒
∀ p ∈ {1,. . . ,n}, det(A p ) > 0
.
β) En déduire que S ++
n est ouvert dans S n (R) .
4.5.50
Soient A ∈ M n (R), D ∈ D n (R) telles que
t A A = D 2 . Montrer qu'il existe Ω ∈ O n (R) telle que
A = Ω D (cf. aussi plus loin ex. 4.5.69 p. 185).
Rappelons qu'on a défini dans S n (R) les relations et <
par (cf. 4.5.3 Rem. 2) p. 171) :
A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n
A < B ⇐⇒ B − A ∈ S
++
n .
4.5.51 Soient A,B ∈ S n (R) telles que A B, et
E = {S ∈ S n (R); A S B}. Montrer que E est une partie compacte de S n (R).
(On pourra utiliser l'ex. 4.5.25 p. 181).
4.5.52 Soient n ∈ N − {0,1}, p ∈ N tel que
1 < p < n, A ∈ M p (R), B ∈ M p,n− p (R) ,
C ∈ M n− p, p (R), D ∈ M n− p (R), Ω =
A B
C D
.
On suppose : Ω ∈ O n (R).
a) Montrer : |det (A)| = |det(D)| . (On pourra utiliser l'ex.
3.2.12 p. 86).
b) Etablir : |det (A)| ∈ [0; 1] .
4.5.53 Soient A,B ∈ S n (R). On suppose A ∈ S ++
n et AB
nilpotente. Montrer B = 0.
4.5.54 Soient n ∈ N et ϕ une forme linéaire sur
R 2n+1 [X] telle que :
∀ P ∈ R n [X] − {0}, ϕ(P 2 ) > 0 .