Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
182
4.5.29 Soient n ∈ N ∗ p ∈ N − {0,1},
A 1 ,. . . , A p ∈ M n (R).
Montrer :
tr
p
i=1
A i
p
i=1
||A i ||,
où || · || est la norme euclidienne canonique sur M n (R).
(Utiliser l'ex. 4.5.28).
4.5.30 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), µ 1 . . . µ n 0
les vp de t A A ( t A A ∈ S +
n , cf. ex. 4.5.17 a).
Montrer :
a) Pour tout X de M n,1 (R) tel que ||X|| = 1 :
√
µ n ||AX||
√
µ 1
b)
√
µ n =
Inf
X ∈ M n,1 (R)
||X||=1
||AX||
et
√
µ 1 =
Sup
X ∈ M n,1 (R)
||X||=1
||AX||, où || · || est la norme
euclidienne canonique sur M n (R).
(Utiliser l'ex. 4.5.7 p. 169).
4.5.31 Soient n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ∈ R,
Montrer : S ∈ S ++
n ⇐⇒ 0 < a 1 < a 2 < . . . < a n .
4.5.32 Soient n ∈ N ∗ , a,b ∈ R,
CNS sur (a,b) pour que S ∈ S +
n (resp. S ++
n ) ?
(Cf. § 2.7.2 4) Exemple).
4.5.33 Soient n ∈ N − {0,1},α,β,x 1 ,. . . ,x n ∈ R ,
CNS pour que S ∈ S
++
n+1
?
4.5.34 Soient n ∈ N ∗ , a,b ∈ R,
CNS pour que S ∈ S +
n (resp. S ++
n ) ?
(Utiliser l'ex. 3.3.7 p. 96).
Exemple :
est symétrique définiepositive.
4.5.35 Soient n ∈ N ∗ , S ∈ S +
n ,A ∈ M n (R) . Montrer :
AS = S A ⇒ (∀ k ∈ N ∗ , AS k = S k A)
AS = S A ⇐⇐ (∃ k ∈ N ∗ , AS k = S k A).
En particulier : AS = S A ⇐⇒ AS 2 = S 2 A.
4.5.36 Soient (E,(·|·)) un eve, (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E ,
f ∈ L(E) défini par :
∀ x ∈ E, f (x) =
n
i=1
(e i |x)e i .
a) Montrer que f est symétrique défini-positif (c'est-à-dire :
f est symétrique et la fq φ f : E −→ R
x −→ (x| f (x))
est définiepositive).
b) En déduire qu'il existe u ∈ L(E) symétrique définipositif tel que u ◦ u = f −1 (utiliser l'ex. 4.5.25 p. 181 ; si
on veut aussi l'unicité de u, utiliser l'ex. 4.5.62 p. 184) .
c) Montrer que (u(e i )) 1in est une b.o.n. de E.
4.5.37 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ S +
n , B ∈ S n (R).
a) Montrer : Sp C (AB) ⊂ R.
(Utiliser l'ex. 4.5.25 p. 165 et l'ex. 3.2.12 p. 86).
b) Montrer que, si B ∈ S +
n , alors Sp C (AB) ⊂ R + .
c) Montrer que, si A ∈ S ++
n , alors AB est diagonalisable
(dans M n (R)).
d) Donner un exemple où : A ∈ S
+
2 ,B ∈ S 2 (R) et AB n'est
pas diagonalisable.
4.5.38 Soit n ∈ N ∗ .
a) Montrer : S ++
n = S +
n ∩ GL n (R).
b) En déduire que S ++
n est un ouvert de S +
n .
(On pourra utiliser : GL n (R) est ouvert dans M n (R),
cf. Analyse PC-PSI-PT, ex. 1.3.2).
c) Montrer que S ++
n est dense dans S +
n .
4.5.39 Soient n ∈ N ∗ , (A,B) ∈ (S +
n ) 2 .
Montrer : A B ⇒
tr(A) tr(B)
det(A) det(B)
.
(On pourra utiliser l'ex. 4.5.24 p. 181).
S =
a 1
a 1
a 2
a 2
. . .
.
.
.
a 1 a 2 . . .
a n
∈ S n (R).
. . . . . .
. . . . . .
S =
a
b
b
a
∈ S n (R).
S =
α x 1 . . . x n
x 1 β
0
.
.
.
x n
0
β
∈ S n+1 (R).
a
b
0
b
b
0
b
a
S =
∈ S n R
( ).
2 −1
0
−1
−1
0
−1
2
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4.5.29 Soient n ∈ N ∗ p ∈ N − {0,1},
A 1 ,. . . , A p ∈ M n (R).
Montrer :
tr
p
i=1
A i
p
i=1
||A i ||,
où || · || est la norme euclidienne canonique sur M n (R).
(Utiliser l'ex. 4.5.28).
4.5.30 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), µ 1 . . . µ n 0
les vp de t A A ( t A A ∈ S +
n , cf. ex. 4.5.17 a).
Montrer :
a) Pour tout X de M n,1 (R) tel que ||X|| = 1 :
√
µ n ||AX||
√
µ 1
b)
√
µ n =
Inf
X ∈ M n,1 (R)
||X||=1
||AX||
et
√
µ 1 =
Sup
X ∈ M n,1 (R)
||X||=1
||AX||, où || · || est la norme
euclidienne canonique sur M n (R).
(Utiliser l'ex. 4.5.7 p. 169).
4.5.31 Soient n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ∈ R,
Montrer : S ∈ S ++
n ⇐⇒ 0 < a 1 < a 2 < . . . < a n .
4.5.32 Soient n ∈ N ∗ , a,b ∈ R,
CNS sur (a,b) pour que S ∈ S +
n (resp. S ++
n ) ?
(Cf. § 2.7.2 4) Exemple).
4.5.33 Soient n ∈ N − {0,1},α,β,x 1 ,. . . ,x n ∈ R ,
CNS pour que S ∈ S
++
n+1
?
4.5.34 Soient n ∈ N ∗ , a,b ∈ R,
CNS pour que S ∈ S +
n (resp. S ++
n ) ?
(Utiliser l'ex. 3.3.7 p. 96).
Exemple :
est symétrique définiepositive.
4.5.35 Soient n ∈ N ∗ , S ∈ S +
n ,A ∈ M n (R) . Montrer :
AS = S A ⇒ (∀ k ∈ N ∗ , AS k = S k A)
AS = S A ⇐⇐ (∃ k ∈ N ∗ , AS k = S k A).
En particulier : AS = S A ⇐⇒ AS 2 = S 2 A.
4.5.36 Soient (E,(·|·)) un eve, (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E ,
f ∈ L(E) défini par :
∀ x ∈ E, f (x) =
n
i=1
(e i |x)e i .
a) Montrer que f est symétrique défini-positif (c'est-à-dire :
f est symétrique et la fq φ f : E −→ R
x −→ (x| f (x))
est définiepositive).
b) En déduire qu'il existe u ∈ L(E) symétrique définipositif tel que u ◦ u = f −1 (utiliser l'ex. 4.5.25 p. 181 ; si
on veut aussi l'unicité de u, utiliser l'ex. 4.5.62 p. 184) .
c) Montrer que (u(e i )) 1in est une b.o.n. de E.
4.5.37 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ S +
n , B ∈ S n (R).
a) Montrer : Sp C (AB) ⊂ R.
(Utiliser l'ex. 4.5.25 p. 165 et l'ex. 3.2.12 p. 86).
b) Montrer que, si B ∈ S +
n , alors Sp C (AB) ⊂ R + .
c) Montrer que, si A ∈ S ++
n , alors AB est diagonalisable
(dans M n (R)).
d) Donner un exemple où : A ∈ S
+
2 ,B ∈ S 2 (R) et AB n'est
pas diagonalisable.
4.5.38 Soit n ∈ N ∗ .
a) Montrer : S ++
n = S +
n ∩ GL n (R).
b) En déduire que S ++
n est un ouvert de S +
n .
(On pourra utiliser : GL n (R) est ouvert dans M n (R),
cf. Analyse PC-PSI-PT, ex. 1.3.2).
c) Montrer que S ++
n est dense dans S +
n .
4.5.39 Soient n ∈ N ∗ , (A,B) ∈ (S +
n ) 2 .
Montrer : A B ⇒
tr(A) tr(B)
det(A) det(B)
.
(On pourra utiliser l'ex. 4.5.24 p. 181).
S =
a 1
a 1
a 2
a 2
. . .
.
.
.
a 1 a 2 . . .
a n
∈ S n (R).
. . . . . .
. . . . . .
S =
a
b
b
a
∈ S n (R).
S =
α x 1 . . . x n
x 1 β
0
.
.
.
x n
0
β
∈ S n+1 (R).
a
b
0
b
b
0
b
a
S =
∈ S n R
( ).
2 −1
0
−1
−1
0
−1
2