181
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
b) S ∈ S +
n ⇒ t AS A ∈ S +
n
c)
S ∈ S ++
n
A ∈ GL n (R)
⇒ t AS A ∈ S ++
n .
4.5.14 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ S n (R). Montrer :
AB + B A ∈ S n (R) et AB + B A A 2 + B 2 .
4.5.15 A-t-on :
∀ (A,B) ∈ (S +
n ) 2 , AB + B A ∈ S +
n ?
4.5.16 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ S ++
n , B ∈ A n (R)
Montrer : A + B ∈ GL n (R) .
4.5.17 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R). Montrer :
a) t A A ∈ S +
p
b) t A A ∈ S ++
p ⇐⇒ rg(A) = p .
En particulier :
∀ A ∈ M n (R),
t A A ∈ S ++
n ⇐⇒ A ∈ GL n (R)) .
4.5.18 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
S 1 ∈ S n 1 (R),. . . ,S N ∈ S n N (R),
S =
S 1
0
. . .
0
S N
∈ S n (R) où n =
N
k=1
n k .
Montrer :
a) S ∈ S +
n ⇐⇒
∀ k ∈ {1,. . . ,N }, S k ∈ S +
n k
b) S ∈ S ++
n ⇐⇒
∀ k ∈ {1,. . . ,N }, S k ∈ S ++
n k
.
4.5.19 Soient p,q ∈ N ∗ , A ∈ S +
p , B ∈ S ++
q ,
U ∈ M p,q (R), S =
A U
t U B
∈ S p+q (R),
C = A− U B −1 t U.
Montrer :
a) S ∈ S
+
p+q ⇐⇒ C ∈ S +
p
b) S ∈ S
++
p+q ⇐⇒ C ∈ S ++
p .
4.5.20 Soit n ∈ N ∗ ; montrer :
a) S n (R) est fermé dans M n (R)
b) S +
n est fermé dans S n (R) et dans M n (R).
4.5.21 Soient n ∈ N ∗ , S ∈ S ++
n , X ∈ M n,1 (R).
On suppose :
S X 0
X 0
,
où « » dans M n,1 (R) signifie que les composantes
(dans la base canonique) sont toutes 0.
Montrer : X = 0.
4.5.22 Soient (α,β,γ ) ∈]0 ; π[ 3 ,
δ = 1 + 2 cos α cos β cos γ − (cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ) ,
S =
1
cos α cos γ
cos α
1
cos β
cos γ cos β
1
.
On suppose δ > 0 ; montrer : S ∈ S
++
3 .
4.5.23 Le produit de deux matrices symétriques réelles
est-il toujours diagonisable dans M n (C) ?
4.5.24 Soient E un R -ev de dimension finie, ϕ une fbs
sur E , φ la fq associée à ϕ , B une base de E ,
A = Mat B (ϕ). Montrer :
a) si φ est positive, alors det(A) 0
b) si φ est définie-positive, alors det(A) > 0.
4.5.25 Soient n, p ∈ N ∗ . Montrer :
a) si p est impair, alors :
∀ S ∈ S n (R), ∃R ∈ S n (R), R p = S
b) si p est pair, alors : ∀ S ∈ S +
n , ∃ R ∈ S +
n , R p = S.
En particulier : ∀ S ∈ S +
n , ∃ R ∈ S +
n , R 2 = S .
(Pour l'unicité, voir plus loin ex. 4.5.62 p. 184).
4.5.26 Soient n ∈ N ∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (R), µ 1 ,. . . ,µ n
les vp de
t
A A.
Montrer :
a) ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, µ i 0
b)
n
i=1
µ i =
1i, jn
a 2
i j .
4.5.27 Soit n ∈ N ∗ . Montrer :
a) ∀ (S,S ) ∈ (S +
n ) 2 , tr(SS ) tr(S) tr(S )
b) ∀ (S,S ) ∈ (S ++
n ) 2 , tr(SS ) < tr(S) tr(S ), si n 2 .
4.5.28 Soit n ∈ N ∗ . Montrer :
∀ (A,B) ∈ (M n (R)) 2 , ||AB|| ||A|| ||B||,
où || · || est la norme euclidienne canonique sur M n (R),
définie par ||A|| = (tr(
t A A))
1
2 .
(Utiliser l'ex. 4.5.27).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
b) S ∈ S +
n ⇒ t AS A ∈ S +
n
c)
S ∈ S ++
n
A ∈ GL n (R)
⇒ t AS A ∈ S ++
n .
4.5.14 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ S n (R). Montrer :
AB + B A ∈ S n (R) et AB + B A A 2 + B 2 .
4.5.15 A-t-on :
∀ (A,B) ∈ (S +
n ) 2 , AB + B A ∈ S +
n ?
4.5.16 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ S ++
n , B ∈ A n (R)
Montrer : A + B ∈ GL n (R) .
4.5.17 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R). Montrer :
a) t A A ∈ S +
p
b) t A A ∈ S ++
p ⇐⇒ rg(A) = p .
En particulier :
∀ A ∈ M n (R),
t A A ∈ S ++
n ⇐⇒ A ∈ GL n (R)) .
4.5.18 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
S 1 ∈ S n 1 (R),. . . ,S N ∈ S n N (R),
S =
S 1
0
. . .
0
S N
∈ S n (R) où n =
N
k=1
n k .
Montrer :
a) S ∈ S +
n ⇐⇒
∀ k ∈ {1,. . . ,N }, S k ∈ S +
n k
b) S ∈ S ++
n ⇐⇒
∀ k ∈ {1,. . . ,N }, S k ∈ S ++
n k
.
4.5.19 Soient p,q ∈ N ∗ , A ∈ S +
p , B ∈ S ++
q ,
U ∈ M p,q (R), S =
A U
t U B
∈ S p+q (R),
C = A− U B −1 t U.
Montrer :
a) S ∈ S
+
p+q ⇐⇒ C ∈ S +
p
b) S ∈ S
++
p+q ⇐⇒ C ∈ S ++
p .
4.5.20 Soit n ∈ N ∗ ; montrer :
a) S n (R) est fermé dans M n (R)
b) S +
n est fermé dans S n (R) et dans M n (R).
4.5.21 Soient n ∈ N ∗ , S ∈ S ++
n , X ∈ M n,1 (R).
On suppose :
S X 0
X 0
,
où « » dans M n,1 (R) signifie que les composantes
(dans la base canonique) sont toutes 0.
Montrer : X = 0.
4.5.22 Soient (α,β,γ ) ∈]0 ; π[ 3 ,
δ = 1 + 2 cos α cos β cos γ − (cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ) ,
S =
1
cos α cos γ
cos α
1
cos β
cos γ cos β
1
.
On suppose δ > 0 ; montrer : S ∈ S
++
3 .
4.5.23 Le produit de deux matrices symétriques réelles
est-il toujours diagonisable dans M n (C) ?
4.5.24 Soient E un R -ev de dimension finie, ϕ une fbs
sur E , φ la fq associée à ϕ , B une base de E ,
A = Mat B (ϕ). Montrer :
a) si φ est positive, alors det(A) 0
b) si φ est définie-positive, alors det(A) > 0.
4.5.25 Soient n, p ∈ N ∗ . Montrer :
a) si p est impair, alors :
∀ S ∈ S n (R), ∃R ∈ S n (R), R p = S
b) si p est pair, alors : ∀ S ∈ S +
n , ∃ R ∈ S +
n , R p = S.
En particulier : ∀ S ∈ S +
n , ∃ R ∈ S +
n , R 2 = S .
(Pour l'unicité, voir plus loin ex. 4.5.62 p. 184).
4.5.26 Soient n ∈ N ∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (R), µ 1 ,. . . ,µ n
les vp de
t
A A.
Montrer :
a) ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, µ i 0
b)
n
i=1
µ i =
1i, jn
a 2
i j .
4.5.27 Soit n ∈ N ∗ . Montrer :
a) ∀ (S,S ) ∈ (S +
n ) 2 , tr(SS ) tr(S) tr(S )
b) ∀ (S,S ) ∈ (S ++
n ) 2 , tr(SS ) < tr(S) tr(S ), si n 2 .
4.5.28 Soit n ∈ N ∗ . Montrer :
∀ (A,B) ∈ (M n (R)) 2 , ||AB|| ||A|| ||B||,
où || · || est la norme euclidienne canonique sur M n (R),
définie par ||A|| = (tr(
t A A))
1
2 .
(Utiliser l'ex. 4.5.27).