Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
180
* le théorème du § 4.5.3 4) p. 172 : une matrice symétrique réelle S ∈ S n (R) est symétrique positive si et seulement si :
Sp R (S) ⊂ R + .
On dispose de résultats analogues pour caractériser, parmi les matrices symétriques réelles, celle qui sont définiespositives.
Le deuxième point de vue (utilisation du spectre) n’a d’intérêt que si on a accès aux valeurs propres de la matrice
symétrique réelle considérée (ex. 4.5.22, 4.5.24 à 4.5.27, 4.5.30 à 4.5.35, 4.5.37, 4.5.38).
• L’existence d’une racine carrée symétrique positive pour une matrice symétrique positive donnée (ex. 4.5.25 b)) est
utile pour de nombreux exercices (ex. 4.5.37, …).
• Lorsqu’interviennent deux matrices symétriques réelles A, B (ex. 4.5.27, 4.5.37), on ne peut pas,
en général, les diagonaliser dans une même base (car alors elles commuteraient). On essaiera de
diagonaliser l’une des deux : A = Ω DΩ −1 , D ∈ D n (R), Ω ∈ O n (R), et on fera subir à l’autre matrice le changement de b.o.n. induit par Ω : B = ΩCΩ −1 , où on montrera C ∈ S n (R) . L’étude qui portait sur A, B sera ainsi
ramenée à une étude sur D, C (et peut être Ω), qui a des chances d’être plus simple.
• Pour montrer que deux matrices commutent, il suffit de montrer que l’une est un polynôme de l’autre
(ex. 4.5.35) ; on pourra, à cet effet, faire intervenir un polynôme d’interpolation à partir des valeurs propres d’une
matrice.
• Lorsqu’interviennent deux matrices symétriques réelles A, B dont l’une est définie-positive (ex. 4.5.40,
4.5.41), on peut essayer d’utiliser l’expression matricielle du théorème de réduction simultanée, § 4.5.3, Prop. 2
2) p. 171 ; si A ∈ S ++
n
et B ∈ S n (R) , alors il existe P ∈ GL n (R) et D ∈ D n (R) telles que : A =
t P P et
B =
t P D P. On portera attention au fait que (si A = I n ), la matrice P n’est pas orthogonale, et donc P −1 et
t P
sont distinctes.
Les exercices 4.5.9 à 4.5.21 ne nécessitent pas l'application du théorème fondamental
4.5.9 Soient E un R -ev, ϕ une fbs sur E , φ la fq associée
à ϕ , (a,b) ∈ E 2 .
On note : E −→ R l'application définie par :
∀ x ∈ E, ,(x) = φ(a)φ(b)φ(x) − ϕ(a,b)ϕ(a,x)ϕ(b,x).
a) Montrer que est une fq et exprimer sa forme polaire ψ.
b) Montrer que, si φ est définie-positive et (a,b) libre,
alors est définie-positive.
4.5.10 Soient E un R -ev, φ une forme quadratique sur E
telle que φ = 0.
Montrer :
a) φ est positive si et seulement si φ(E) = R +
b) φ est négative si et seulement si φ(E) = R −
c) φ n'est ni positive ni négative si et seulement si
φ(E) = R.
4.5.11 Montrer que est compatible dans S n (R) avec
l'addition, c'est-à-dire : ∀ A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 ∈ S n (R),
A 1 B 1
A 2 B 2
⇒ A 1 + A 2 B 1 + B 2 .
Montrer de plus : ∀ A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 ,∈ S n (R),
A 1 B 1
A 2 < B 2
⇒ A 1 + A 2 < B 1 + B 2 .
4.5.12 Soient n, p ∈ N ∗ , S 1 ,. . . ,S p ∈ S n (R),
S =
p
k=1
S 2
k .
a) Montrer : S ∈ S +
n .
b) Montrer : S = 0 ⇐⇒ (∀ k ∈ {1,. . . , p}, S k = 0) .
4.5.13 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), S ∈ S n (R). Montrer :
a) t AS A ∈ S n (R)
Exercices
180
* le théorème du § 4.5.3 4) p. 172 : une matrice symétrique réelle S ∈ S n (R) est symétrique positive si et seulement si :
Sp R (S) ⊂ R + .
On dispose de résultats analogues pour caractériser, parmi les matrices symétriques réelles, celle qui sont définiespositives.
Le deuxième point de vue (utilisation du spectre) n’a d’intérêt que si on a accès aux valeurs propres de la matrice
symétrique réelle considérée (ex. 4.5.22, 4.5.24 à 4.5.27, 4.5.30 à 4.5.35, 4.5.37, 4.5.38).
• L’existence d’une racine carrée symétrique positive pour une matrice symétrique positive donnée (ex. 4.5.25 b)) est
utile pour de nombreux exercices (ex. 4.5.37, …).
• Lorsqu’interviennent deux matrices symétriques réelles A, B (ex. 4.5.27, 4.5.37), on ne peut pas,
en général, les diagonaliser dans une même base (car alors elles commuteraient). On essaiera de
diagonaliser l’une des deux : A = Ω DΩ −1 , D ∈ D n (R), Ω ∈ O n (R), et on fera subir à l’autre matrice le changement de b.o.n. induit par Ω : B = ΩCΩ −1 , où on montrera C ∈ S n (R) . L’étude qui portait sur A, B sera ainsi
ramenée à une étude sur D, C (et peut être Ω), qui a des chances d’être plus simple.
• Pour montrer que deux matrices commutent, il suffit de montrer que l’une est un polynôme de l’autre
(ex. 4.5.35) ; on pourra, à cet effet, faire intervenir un polynôme d’interpolation à partir des valeurs propres d’une
matrice.
• Lorsqu’interviennent deux matrices symétriques réelles A, B dont l’une est définie-positive (ex. 4.5.40,
4.5.41), on peut essayer d’utiliser l’expression matricielle du théorème de réduction simultanée, § 4.5.3, Prop. 2
2) p. 171 ; si A ∈ S ++
n
et B ∈ S n (R) , alors il existe P ∈ GL n (R) et D ∈ D n (R) telles que : A =
t P P et
B =
t P D P. On portera attention au fait que (si A = I n ), la matrice P n’est pas orthogonale, et donc P −1 et
t P
sont distinctes.
Les exercices 4.5.9 à 4.5.21 ne nécessitent pas l'application du théorème fondamental
4.5.9 Soient E un R -ev, ϕ une fbs sur E , φ la fq associée
à ϕ , (a,b) ∈ E 2 .
On note : E −→ R l'application définie par :
∀ x ∈ E, ,(x) = φ(a)φ(b)φ(x) − ϕ(a,b)ϕ(a,x)ϕ(b,x).
a) Montrer que est une fq et exprimer sa forme polaire ψ.
b) Montrer que, si φ est définie-positive et (a,b) libre,
alors est définie-positive.
4.5.10 Soient E un R -ev, φ une forme quadratique sur E
telle que φ = 0.
Montrer :
a) φ est positive si et seulement si φ(E) = R +
b) φ est négative si et seulement si φ(E) = R −
c) φ n'est ni positive ni négative si et seulement si
φ(E) = R.
4.5.11 Montrer que est compatible dans S n (R) avec
l'addition, c'est-à-dire : ∀ A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 ∈ S n (R),
A 1 B 1
A 2 B 2
⇒ A 1 + A 2 B 1 + B 2 .
Montrer de plus : ∀ A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 ,∈ S n (R),
A 1 B 1
A 2 < B 2
⇒ A 1 + A 2 < B 1 + B 2 .
4.5.12 Soient n, p ∈ N ∗ , S 1 ,. . . ,S p ∈ S n (R),
S =
p
k=1
S 2
k .
a) Montrer : S ∈ S +
n .
b) Montrer : S = 0 ⇐⇒ (∀ k ∈ {1,. . . , p}, S k = 0) .
4.5.13 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), S ∈ S n (R). Montrer :
a) t AS A ∈ S n (R)
Exercices