4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
179
Les méthodes à retenir
Réduction des matrices symétriques réelles, formes quadratiques positives,
formes quadratiques définies-positives
• Pour résoudre certains exercices portant sur les formes quadratiques positives ou les formes quadratiques
définies-positives, il peut suffire de revenir simplement à la définition du § 4.5.3 1) Déf. 1 p. 170 (ex. 4.5.9, 4.5.10).
• Pour étudier une question portant sur une matrice symétrique réelle, penser à utiliser éventuellement le théorème fondamental (ex. 4.5.25).
• Pour étudier des inégalités dans S n (R), on manipulera les symboles , < dans S n (R) (cf. Remarque 2) p. 171)
avec précaution. De manière générale, on ramènera, une inégalité dans S n (R) à l’intervention d’une matrice symétrique positive ou définie-positive ; si A,B ∈ S n (R), on a :
A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n
et :
A < B ⇐⇒ B − A ∈ S
++
n
(ex. 4.5.11 à 4.5.14).
• Les propriétés vues en Remarque 1) p. 171 sont souvent utiles (ex. 4.5.12 à 4.5.14).
• Pour travailler sur une matrice symétrique positive, on dispose de deux points de vue :
* la définition : une matrice symétrique réelle S ∈ S n (R) est symétrique positive si et seulement si :
∀ X ∈ M n,1 (R),
t
X S X 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Les réels λ 1 ,...,λ n sont tous > 0 car
D ∈ D n (R ∗
+ ).
L'implication renversée traduit une
condition suffisante.
Pour établir une inégalité à une variable
réelle, on peut essayer d'étudier les
variations d'une fonction.
Comme a 1 ,a 2 ∈ R ∗
+ et a 1 + a 2 = 1, on a :
1 − a 2 > 0.
Solution
En notant D = diag (λ 1 ,...,λ n ), on a :
(1) ⇐⇒
n
k=1
(a 1 + a 2 λ k )
n
k=1
λ k
a 2
=
n
k=1
λ
a 2
k
⇐⇐ ∀ k ∈ {1,...,n}, a 1 + a 2 λ k λ
a 2
k .
Considérons l'application f : ]0 ; +∞[ −→ R, λ −→ f (λ) = a 1 + a 2 λ − λ
a 2 .
L'application f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et :
∀ λ ∈ ]0 ; +∞[, f
(λ) = a 2 − a 2 λ
a 2 −1 = a 2 (1 − λ
−(1−a 2 ) ).
On en déduit le tableau de variations de f :
Comme f (1) = a 1 + a 2 − 1 = 0, on conclut : ∀ λ ∈ ]0 ; +∞[, f (λ) 0,
d'où l'inégalité voulue.
λ
0
1
+∞
f
(λ) −
0
+
f (λ)
0
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Les méthodes à retenir
Réduction des matrices symétriques réelles, formes quadratiques positives,
formes quadratiques définies-positives
• Pour résoudre certains exercices portant sur les formes quadratiques positives ou les formes quadratiques
définies-positives, il peut suffire de revenir simplement à la définition du § 4.5.3 1) Déf. 1 p. 170 (ex. 4.5.9, 4.5.10).
• Pour étudier une question portant sur une matrice symétrique réelle, penser à utiliser éventuellement le théorème fondamental (ex. 4.5.25).
• Pour étudier des inégalités dans S n (R), on manipulera les symboles , < dans S n (R) (cf. Remarque 2) p. 171)
avec précaution. De manière générale, on ramènera, une inégalité dans S n (R) à l’intervention d’une matrice symétrique positive ou définie-positive ; si A,B ∈ S n (R), on a :
A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n
et :
A < B ⇐⇒ B − A ∈ S
++
n
(ex. 4.5.11 à 4.5.14).
• Les propriétés vues en Remarque 1) p. 171 sont souvent utiles (ex. 4.5.12 à 4.5.14).
• Pour travailler sur une matrice symétrique positive, on dispose de deux points de vue :
* la définition : une matrice symétrique réelle S ∈ S n (R) est symétrique positive si et seulement si :
∀ X ∈ M n,1 (R),
t
X S X 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Les réels λ 1 ,...,λ n sont tous > 0 car
D ∈ D n (R ∗
+ ).
L'implication renversée traduit une
condition suffisante.
Pour établir une inégalité à une variable
réelle, on peut essayer d'étudier les
variations d'une fonction.
Comme a 1 ,a 2 ∈ R ∗
+ et a 1 + a 2 = 1, on a :
1 − a 2 > 0.
Solution
En notant D = diag (λ 1 ,...,λ n ), on a :
(1) ⇐⇒
n
k=1
(a 1 + a 2 λ k )
n
k=1
λ k
a 2
=
n
k=1
λ
a 2
k
⇐⇐ ∀ k ∈ {1,...,n}, a 1 + a 2 λ k λ
a 2
k .
Considérons l'application f : ]0 ; +∞[ −→ R, λ −→ f (λ) = a 1 + a 2 λ − λ
a 2 .
L'application f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et :
∀ λ ∈ ]0 ; +∞[, f
(λ) = a 2 − a 2 λ
a 2 −1 = a 2 (1 − λ
−(1−a 2 ) ).
On en déduit le tableau de variations de f :
Comme f (1) = a 1 + a 2 − 1 = 0, on conclut : ∀ λ ∈ ]0 ; +∞[, f (λ) 0,
d'où l'inégalité voulue.
λ
0
1
+∞
f
(λ) −
0
+
f (λ)
0