Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
178
5) Réduction simultanée d’un produit scalaire et d’une forme quadratique
Proposition
Expression matricielle du théorème de réduction simultanée
Soient A ∈ S
++
n , B ∈ S n (R). Alors il existe (P,D) ∈ GL n (R) × D n (R) tel que :
A =
t P P et B =
t P D P.
Preuve
Puisque A ∈ S
++
n , la fbs ϕ A :
M n,1 (R)
2 −→ R
(X,Y ) −→ t X AY
est un produit scalaire sur M n,1 (R). Notons ϕ B la
fbs représentée par B dans la base canonique B 0 de M n,1 (R) .
D'après le th. de réduction simultanée (4.5.2 Th. p. 169), il existe une b.o.n. B de
M n,1 (R),ϕ A
telle
que la matrice D de ϕ B dans B soit diagonale. Notons P = Pass(B 0 ,B).
Comme ϕ A est représenté dans B 0 par A et dans B par I n (car B est orthonormale pour ϕ A ), on a (formule de changement de base pour une fbs, 4.1.2 3) Prop. 3 p. 135) : A = t PI n P = t P P. De même
B = t P D P.
Remarque :
Dans cette Proposition, les éléments diagonaux de D ne sont pas (« en général ») les valeurs
propres de B.
Attention : il ne s’agit pas ici de
diagonalisation de matrices carrées : les
formules font intervenir t P et non P −1 ,
et P n’est pas, a priori, orthogonale.
Exercices 4.5.40, 4.5.41, 4.5.53 à
4.5.55.
Exercice-type résolu
Inégalité portant sur des déterminants de matrices symétriques définies-positives
Soient n ∈ N
∗
, S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , a 1 ,a 2 ∈ R
∗
+ tels que a 1 + a 2 = 1.
Montrer :
det (a 1 S 1 + a 2 S 2 )
det (S 1 )
a 1
det (S 2 )
a 2 .
Conseils
D n (R ∗
+ ) désigne l'ensemble des matrices
diagonales de M n (R) dont les termes
diagonaux sont tous > 0.
Rappel : a 1 + a 2 = 1.
Solution
Puisque S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , on a : det (S 1 ) > 0, det (S 2 ) > 0.
D'autre part, puisque a 1 ,a 2 ∈ R
∗
+ , et S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , on a : a 1 S 1 + a 2 S 2 ∈ S
++
n , donc
det (a 1 S 1 + a 2 S 2 ) > 0.
Puisque S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , d'après le théorème de réduction simultanée, il existe
P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R
∗
+ ) telles que : S 1 =
t P P et S 2 =
t P D P.
On a alors :
a 1 S 1 + a 2 S 2 = a 1
t P P + a 2
t P D P =
t P(a 1 I n + a 2 D)P,
d'où, en notant (1) l'inégalité demandée :
(1) ⇐⇒ det
t P(a 1 I n + a 2 D)P
det (
t P P)
a 1
det (
t P D P)
a 2
⇐⇒
det (P)
2 det (a 1 I n + a 2 D)
det (P)
2a 1
det (P)
2a 2
det (D)
a 2
⇐⇒ det (a 1 I n + a 2 D)
det (D)
a 2 .
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5) Réduction simultanée d’un produit scalaire et d’une forme quadratique
Proposition
Expression matricielle du théorème de réduction simultanée
Soient A ∈ S
++
n , B ∈ S n (R). Alors il existe (P,D) ∈ GL n (R) × D n (R) tel que :
A =
t P P et B =
t P D P.
Preuve
Puisque A ∈ S
++
n , la fbs ϕ A :
M n,1 (R)
2 −→ R
(X,Y ) −→ t X AY
est un produit scalaire sur M n,1 (R). Notons ϕ B la
fbs représentée par B dans la base canonique B 0 de M n,1 (R) .
D'après le th. de réduction simultanée (4.5.2 Th. p. 169), il existe une b.o.n. B de
M n,1 (R),ϕ A
telle
que la matrice D de ϕ B dans B soit diagonale. Notons P = Pass(B 0 ,B).
Comme ϕ A est représenté dans B 0 par A et dans B par I n (car B est orthonormale pour ϕ A ), on a (formule de changement de base pour une fbs, 4.1.2 3) Prop. 3 p. 135) : A = t PI n P = t P P. De même
B = t P D P.
Remarque :
Dans cette Proposition, les éléments diagonaux de D ne sont pas (« en général ») les valeurs
propres de B.
Attention : il ne s’agit pas ici de
diagonalisation de matrices carrées : les
formules font intervenir t P et non P −1 ,
et P n’est pas, a priori, orthogonale.
Exercices 4.5.40, 4.5.41, 4.5.53 à
4.5.55.
Exercice-type résolu
Inégalité portant sur des déterminants de matrices symétriques définies-positives
Soient n ∈ N
∗
, S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , a 1 ,a 2 ∈ R
∗
+ tels que a 1 + a 2 = 1.
Montrer :
det (a 1 S 1 + a 2 S 2 )
det (S 1 )
a 1
det (S 2 )
a 2 .
Conseils
D n (R ∗
+ ) désigne l'ensemble des matrices
diagonales de M n (R) dont les termes
diagonaux sont tous > 0.
Rappel : a 1 + a 2 = 1.
Solution
Puisque S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , on a : det (S 1 ) > 0, det (S 2 ) > 0.
D'autre part, puisque a 1 ,a 2 ∈ R
∗
+ , et S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , on a : a 1 S 1 + a 2 S 2 ∈ S
++
n , donc
det (a 1 S 1 + a 2 S 2 ) > 0.
Puisque S 1 ,S 2 ∈ S
++
n , d'après le théorème de réduction simultanée, il existe
P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R
∗
+ ) telles que : S 1 =
t P P et S 2 =
t P D P.
On a alors :
a 1 S 1 + a 2 S 2 = a 1
t P P + a 2
t P D P =
t P(a 1 I n + a 2 D)P,
d'où, en notant (1) l'inégalité demandée :
(1) ⇐⇒ det
t P(a 1 I n + a 2 D)P
det (
t P P)
a 1
det (
t P D P)
a 2
⇐⇒
det (P)
2 det (a 1 I n + a 2 D)
det (P)
2a 1
det (P)
2a 2
det (D)
a 2
⇐⇒ det (a 1 I n + a 2 D)
det (D)
a 2 .