4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
173
Ceci montre :
S ∈ S
+
n .
2) En reprenant les notations précédentes :
• t X S X > 0, d'où λ > 0
• t X S X =
n
i=1
λ i y 2
i > 0
car (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ (R ∗
+ ) n et Y = 0 (sinon, X = ΩY = 0 , exclu).
Remarque :
Du Th. fondamental (4.4.1 Th. p. 164) et de la Prop. précédente, on déduit : S
++
n ⊂ GL n (R).
Le Corollaire suivant se déduit immédiatement du Théorème précédent.
Corollaire
Soit f un endomorphisme symétrique de E.
1) f est symétrique positif si et seulement si : Sp R ( f ) ⊂ R +
2) f est symétrique défini-positif si et seulement si : Sp R ( f ) ⊂ R ∗
+ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercices 4.5.22 à 4.5.39, 4.5.42 à
4.5.52, 4.5.56 à 4.5.75.
On a même :
S ++
n = S +
n ∩ GL n (R).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice-type résolu 1
Une caractérisation des matrices carrées réelles diagonalisables
Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (R). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) A est diagonalisable dans M n (R)
(ii) ∃ S ∈ S
++
n ,
t A = S
−1 AS.
Conseils
||.|| 2 désigne la norme euclidienne usuelle
sur M n,1 (R).
t P X = 0 car t P ∈ GL n (R) et X = 0.
Solution
1) Supposons A diagonalisable dans M n (R). Il existe P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R)
telles que : A = P D P
−1
.
On a alors
t A =
t
(P D P
−1
) =
t P
−1 D
t P et D = P
−1 AP, d'où :
t A =
t P
−1 (P
−1 AP)
t P = (
t P
−1 P
−1 )A(P
t P) = (P
t P)
−1 A(P
t P).
En notant S = P
t P, on a donc :
t A = S
−1 AS.
La matrice S est symétrique car
t S =
tt P
t P = P
t
P = S, et on a, pour tout
X ∈ M n,1 (R) − {0} :
t X S X =
t
X (P
t P)X = (
t X P)(
t P X) =
t (
t P X)
t P X = ||
t
P X||
2
2 > 0.
On conclut : S ∈ S
++
n .
2) Réciproquement, supposons qu'il existe S ∈ S
++
n
telle que :
t A = S
−1 AS.
On a alors :
t (AS) =
t S
t A = S(S
−1 AS) = AS,
donc AS ∈ S n (R).
173
Ceci montre :
S ∈ S
+
n .
2) En reprenant les notations précédentes :
• t X S X > 0, d'où λ > 0
• t X S X =
n
i=1
λ i y 2
i > 0
car (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ (R ∗
+ ) n et Y = 0 (sinon, X = ΩY = 0 , exclu).
Remarque :
Du Th. fondamental (4.4.1 Th. p. 164) et de la Prop. précédente, on déduit : S
++
n ⊂ GL n (R).
Le Corollaire suivant se déduit immédiatement du Théorème précédent.
Corollaire
Soit f un endomorphisme symétrique de E.
1) f est symétrique positif si et seulement si : Sp R ( f ) ⊂ R +
2) f est symétrique défini-positif si et seulement si : Sp R ( f ) ⊂ R ∗
+ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercices 4.5.22 à 4.5.39, 4.5.42 à
4.5.52, 4.5.56 à 4.5.75.
On a même :
S ++
n = S +
n ∩ GL n (R).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice-type résolu 1
Une caractérisation des matrices carrées réelles diagonalisables
Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (R). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) A est diagonalisable dans M n (R)
(ii) ∃ S ∈ S
++
n ,
t A = S
−1 AS.
Conseils
||.|| 2 désigne la norme euclidienne usuelle
sur M n,1 (R).
t P X = 0 car t P ∈ GL n (R) et X = 0.
Solution
1) Supposons A diagonalisable dans M n (R). Il existe P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R)
telles que : A = P D P
−1
.
On a alors
t A =
t
(P D P
−1
) =
t P
−1 D
t P et D = P
−1 AP, d'où :
t A =
t P
−1 (P
−1 AP)
t P = (
t P
−1 P
−1 )A(P
t P) = (P
t P)
−1 A(P
t P).
En notant S = P
t P, on a donc :
t A = S
−1 AS.
La matrice S est symétrique car
t S =
tt P
t P = P
t
P = S, et on a, pour tout
X ∈ M n,1 (R) − {0} :
t X S X =
t
X (P
t P)X = (
t X P)(
t P X) =
t (
t P X)
t P X = ||
t
P X||
2
2 > 0.
On conclut : S ∈ S
++
n .
2) Réciproquement, supposons qu'il existe S ∈ S
++
n
telle que :
t A = S
−1 AS.
On a alors :
t (AS) =
t S
t A = S(S
−1 AS) = AS,
donc AS ∈ S n (R).