Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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3) Soient E un eve, n = dim(E), B une b.o.n. de E , ϕ une fbs sur E , φ la fq associée à ϕ ,
A = Mat B (ϕ). On a :
A symétrique positive ⇐⇒ φ positive
A symétrique définie-positive ⇐⇒ φ définie-positive.
3) Endomorphismes symétriques positifs, symétriques définis-positifs
Définition 3
Un endomorphisme symétrique f de E est dit :
1) symétrique positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
2) symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
∀ x ∈ E, (< x, f (x) > = 0 ⇒ x = 0)
.
Remarques :
1) Un endomorphisme symétrique f de E est symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E − {0}, < x, f (x) >> 0.
2) Les qualificatifs « positif », « défini-positif » ne peuvent s'appliquer ici qu'à un
endomorphisme symétrique (et non à tout endomorphisme).
3) Un endomorphisme symétrique f de E est dit négatif (resp. défini-négatif) si et
seulement si − f est symétrique positif (resp. défini-positif ).
4) Soit f un endomorphisme symétrique de E ; notons φ f : E −→ R
x −→< x, f (x) >
. Il est clair que φ f
est une forme quadratique sur E (appelée forme quadratique associée à f), et que f est symétrique positif (resp. défini-positif) si et seulement si φ f est une fq positive (resp. définie-positive).
4) Caractérisation de la positivité par le spectre
Théorème
Soit S ∈ S n (R) . On a :
1) S ∈ S
+
n ⇐⇒ Sp R (S) ⊂ R + 2) S ∈ S
++
n ⇐⇒ Sp R (S) ⊂ R ∗
+ .
Preuve
1) • Soient S ∈ S
+
n , λ ∈ Sp R (S) ; il existe X ∈ M n,1 (R) − {0} tel que S X = λX.
On a :
t X S X 0, t X S X = t X (λX) = λ t X X, t X X = ||X|| 2 > 0,
d'où :
λ 0.
• Réciproquement, supposons Sp R (S) ⊂ R + .
D'après le th. fondamental (4.4.1 Th. p. 164), il existe (Ω,D) ∈ O n (R) × D n (R) tel que S = Ω DΩ −1 .
Soit X ∈ M n,1 (R) ; notons D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) et Y = Ω −1 X =
y 1
. . .
y n
.
On a alors :
t X S X = t XΩ DΩ
−1 X = t Y DY =
n
i=1
λ i y 2
i 0.
Exercices 4.5.11 à 4.5.21.
Très utile.
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3) Soient E un eve, n = dim(E), B une b.o.n. de E , ϕ une fbs sur E , φ la fq associée à ϕ ,
A = Mat B (ϕ). On a :
A symétrique positive ⇐⇒ φ positive
A symétrique définie-positive ⇐⇒ φ définie-positive.
3) Endomorphismes symétriques positifs, symétriques définis-positifs
Définition 3
Un endomorphisme symétrique f de E est dit :
1) symétrique positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
2) symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
∀ x ∈ E, (< x, f (x) > = 0 ⇒ x = 0)
.
Remarques :
1) Un endomorphisme symétrique f de E est symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E − {0}, < x, f (x) >> 0.
2) Les qualificatifs « positif », « défini-positif » ne peuvent s'appliquer ici qu'à un
endomorphisme symétrique (et non à tout endomorphisme).
3) Un endomorphisme symétrique f de E est dit négatif (resp. défini-négatif) si et
seulement si − f est symétrique positif (resp. défini-positif ).
4) Soit f un endomorphisme symétrique de E ; notons φ f : E −→ R
x −→< x, f (x) >
. Il est clair que φ f
est une forme quadratique sur E (appelée forme quadratique associée à f), et que f est symétrique positif (resp. défini-positif) si et seulement si φ f est une fq positive (resp. définie-positive).
4) Caractérisation de la positivité par le spectre
Théorème
Soit S ∈ S n (R) . On a :
1) S ∈ S
+
n ⇐⇒ Sp R (S) ⊂ R + 2) S ∈ S
++
n ⇐⇒ Sp R (S) ⊂ R ∗
+ .
Preuve
1) • Soient S ∈ S
+
n , λ ∈ Sp R (S) ; il existe X ∈ M n,1 (R) − {0} tel que S X = λX.
On a :
t X S X 0, t X S X = t X (λX) = λ t X X, t X X = ||X|| 2 > 0,
d'où :
λ 0.
• Réciproquement, supposons Sp R (S) ⊂ R + .
D'après le th. fondamental (4.4.1 Th. p. 164), il existe (Ω,D) ∈ O n (R) × D n (R) tel que S = Ω DΩ −1 .
Soit X ∈ M n,1 (R) ; notons D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) et Y = Ω −1 X =
y 1
. . .
y n
.
On a alors :
t X S X = t XΩ DΩ
−1 X = t Y DY =
n
i=1
λ i y 2
i 0.
Exercices 4.5.11 à 4.5.21.
Très utile.