4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
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Proposition 2
Soit S ∈ S n (R) . On a :
• S ∈ S
+
n ⇐⇒
∀ X ∈ M n,1 (R),
t X S X 0
• S ∈ S
++
n ⇐⇒
∀ X ∈ M n,1 (R),
t X S X 0
t X S X = 0 ⇒ X = 0
⇐⇒
∀ X ∈ M n,1 (R) − {0},
t X S X > 0
.
Remarques :
1) On déduit facilement de la Prop. précédente les propriétés élémentaires suivantes de S
+
n
et S
++
n :
1) ∀ α ∈ R + , ∀ S ∈ S
+
n , αS ∈ S
+
n
2) ∀ α ∈ R ∗
+ , ∀ S ∈ S
++
n , αS ∈ S
++
n
3) ∀ (S 1 ,S 2 ) ∈ (S
+
n ) 2 , S 1 + S 2 ∈ S
+
n
4) ∀ S 1 ,S 2 ∈ S
+
n × S
++
n , S 1 + S 2 ∈ S
++
n
5) ∀ A ∈ M n (R), t A A ∈ S
+
n .
2) On munit S n (R) d'une relation, notée , définie par :
∀ (A,B) ∈
S n (R)
2 , (A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n ).
Cette relation est un ordre sur S n (R) :
• Réflexivité : ∀ A ∈ S n (R), A − A = 0 ∈ S
+
n
• Antisymétrie : Soient A,B ∈ S n (R) telles que A B et B A . On a alors B − A ∈ S
+
n et
A − B ∈ S
+
n , d'où : ∀ X ∈ M n,1 (R), t X (A − B)X = 0, et donc, comme A − B ∈ S n (R),
A − B = 0 (cf. 4.1.2 Prop. 2 p. 133)
• Transitivité : On a, pour toutes A,B,C de S n (R) :
A B
B C
⇒
B − A ∈ S
+
n
C − B ∈ S
+
n
⇒ C − A = (C − B) + (B − A) ∈ S
+
n ⇒ A C.
Mais, si n 2 :
• n'est pas un ordre total sur S n (R). Par exemple, pour A =
0 0
0 0
et B =
1
0
0 −1
, on n'a ni A B ni B A .
• n'est pas compatible avec la multiplication (même si les matrices qui interviennent sont
toutes symétriques). Par exemple, pour A =
1 0
0 0
et B =
2
1
1 5/4
, on a A B
(car B − A =
1
1
1 5/4
∈ S
+
2 ) et A 2 B 2 (car B 2 − A 2 =
1
16
64 52
52 41
∈ S
+
2 ).
On note souvent < la relation définie dans S n (R) par :
∀ (A,B) ∈
S n (R)
2 , (A < B ⇐⇒ B − A ∈ S
++
n ).
On prendra garde à ce que, lorsque n 2, les relations
A B
A = B
n'entraînent pas A < B,
comme le montre l'exemple : n = 2, A =
0 0
0 0
, B =
1 0
0 0
.
Ces propriétés sont souvent utiles dans
les exercices et problèmes.
Attention : L’ordre sur S n (R) n’est
pas total (si n 2).
Attention : L’ordre sur S n (R) n’est
pas compatible avec la multiplication
qui n’est d’ailleurs pas une loi interne
dans S n (R) si n 2.