Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Notons B la base déduite de B 1 par la matrice de passage Ω. Alors B est orthonormée (puisque B 1 est
orthonormée et Ω orthogonale, cf. 4.3.2 Prop. 6 p. 155), et (cf. formule de changement de base, 4.1.2 3)
Prop. 3. p. 135) : Mat B (ϕ) = t Ω A 1 Ω = t Ω(Ω DΩ −1 )Ω = D.
᭿
4.5.3 Positivité
1) Formes quadratiques positives, définies-positives
Définition 1
Soient E un R-ev, φ une fq sur E.
1) On dit que φ est positive si et seulement si : ∀ x ∈ E, φ(x) 0.
2) On dit que φ est définie-positive si et seulement si :
∀ x ∈ E, φ(x) 0
∀ x ∈ E, (φ(x) = 0 ⇒ x = 0).
Remarque :
Soient ϕ une fbs sur un ev E , φ la fq associée à ϕ ; ϕ est un produit scalaire si et seulement si
φ est définie-positive.
Proposition 1
Inégalité de Cauchy Schwarz pour une fq positive
Soient E un R-ev, φ une fq positive sur E, ϕ la forme polaire de φ.
On a, pour tout (x,y) ∈ R
2 :
|ϕ(x,y)|
2
φ(x)φ(y).
Preuve
Comme pour l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire (cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 10.1.2, Th.
1), la condition φ 0 étant suffisante.
᭿
2) Matrices symétriques positives, définies-positives
Définition 2
Soient S ∈ S n (R) , ϕ la fbs sur R n dont la matrice dans la base canonique est S, φ la
fq associée à ϕ.
1) On dit que S est symétrique positive si et seulement si φ est positive.
2) On dit que S est symétrique définie-positive si et seulement si φ est définie-positive.
Notation
On note :
S
+
n l’ensemble des matrices symétriques positives de S n (R)
S
++
n l’ensemble des matrices symétriques définies-positives de S n (R).
La Proposition suivante est immédiate.
φ est définie-positive si et seulement si :
∀ x ∈ E − {0}, φ(x) > 0.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 4.5.9, 4.5.10.