4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
169
Les méthodes à retenir
Réduction des matrices symétriques réelles : théorème fondamental
• Dès qu’une matrice symétrique réelle intervient, penser à la possibilité d’appliquer le théorème fondamental.
Si, dans le contexte considéré, une seule matrice symétrique réelle intervient (ex. 4.5.3 à 4.5.8), le théorème fondamental permet souvent de se ramener au cas d’une matrice diagonale.
Voir aussi plus loin la rubrique « Les méthodes à retenir » p. 179.
4.5.1 Une démonstration du théorème fondamental
Soient (E,< ·,· >) un eve de dimension 2,
S = {x ∈ E; ||x|| = 1}, f ∈ S(E), ϕ : S −→ R
x −→< x, f (x) >
.
a) Montrer que ϕ est bornée et qu'il existe x 0 ∈ S tel que
ϕ(x 0 ) = Sup
x∈S
ϕ(x).
b) Soit x 1 ∈ E tel que (x 0 ,x 1 ) soit une famille orthonormale. En considérant cos θ x 0 + sin θ x 1 pour θ ∈ R,
démontrer :< x 1 , f (x 0 ) > = 0.
c) En déduire que x 0 est un vecteur propre pour f.
4.5.2 Trouver un exemple de matrice symétrique complexe d'ordre 2 non diagonalisable.
4.5.3 Soit A ∈ M n (R). Montrer que, si A + t A est nilpotente, alors A est antisymétrique.
4.5.4 Soit A ∈ M n (R). Montrer qu'il existe X ∈ M n,1 (R)
tel que :
t X X = n et t X AX = tr(A) .
4.5.5 Soient S ∈ S n (R) , A = S + iI n ∈ M n (C) .
Démontrer que A est inversible.
4.5.6 Résoudre dans (M n (R)) 2 :
t XY X = I n
t Y XY = I n
.
4.5.7 Soient S ∈ S n (R) , λ 1 ,. . . ,λ n les valeurs propres de
S. Montrer :
a) Pour tout X de M n,1 (R) tel que t X X = 1 :
Min
1in
λ i t X S X Max
1in
λ i
b) Min
1in
λ i = Inf
X∈M n,1 (R)
t X X=1
t X S X
et Max
1in
λ i = Sup
X∈M n,1 (R)
t X X=1
t X S X.
4.5.8 Soient n ∈ N − {0,1}, d 1 ,. . . ,d n ∈ R tels que
d 1 < · · · < d n , A =
d 1
1
. . .
1
d n
.
Montrer que A est diagonalisable dans M n (R) et que ses
valeurs propres λ 1 ,. . . ,λ n vérifient :
d 1 − 1 < λ 1 < d 2 − 1 <. . .< λ n−1 < d n − 1 < λ n < d n + n − 1.
Exercices
4.5.2 Réduction simultanée
Théorème
Soient (E,< ·,· >) un eve, ϕ une fbs sur E × E. Il existe une b.o.n. de E dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale.
Preuve
L'eve E admet au moins une b.o.n. B 1 ; notons A 1 = Mat B 1 (ϕ) .
Puisque A 1 est symétrique, d'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164), il existe Ω ∈ O n (R),
D ∈ D n (R) telle que A 1 = Ω DΩ −1 .
B 1 est une b.o.n. de (E,< .,. >).
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Géométrie
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Réduction des matrices symétriques réelles : théorème fondamental
• Dès qu’une matrice symétrique réelle intervient, penser à la possibilité d’appliquer le théorème fondamental.
Si, dans le contexte considéré, une seule matrice symétrique réelle intervient (ex. 4.5.3 à 4.5.8), le théorème fondamental permet souvent de se ramener au cas d’une matrice diagonale.
Voir aussi plus loin la rubrique « Les méthodes à retenir » p. 179.
4.5.1 Une démonstration du théorème fondamental
Soient (E,< ·,· >) un eve de dimension 2,
S = {x ∈ E; ||x|| = 1}, f ∈ S(E), ϕ : S −→ R
x −→< x, f (x) >
.
a) Montrer que ϕ est bornée et qu'il existe x 0 ∈ S tel que
ϕ(x 0 ) = Sup
x∈S
ϕ(x).
b) Soit x 1 ∈ E tel que (x 0 ,x 1 ) soit une famille orthonormale. En considérant cos θ x 0 + sin θ x 1 pour θ ∈ R,
démontrer :< x 1 , f (x 0 ) > = 0.
c) En déduire que x 0 est un vecteur propre pour f.
4.5.2 Trouver un exemple de matrice symétrique complexe d'ordre 2 non diagonalisable.
4.5.3 Soit A ∈ M n (R). Montrer que, si A + t A est nilpotente, alors A est antisymétrique.
4.5.4 Soit A ∈ M n (R). Montrer qu'il existe X ∈ M n,1 (R)
tel que :
t X X = n et t X AX = tr(A) .
4.5.5 Soient S ∈ S n (R) , A = S + iI n ∈ M n (C) .
Démontrer que A est inversible.
4.5.6 Résoudre dans (M n (R)) 2 :
t XY X = I n
t Y XY = I n
.
4.5.7 Soient S ∈ S n (R) , λ 1 ,. . . ,λ n les valeurs propres de
S. Montrer :
a) Pour tout X de M n,1 (R) tel que t X X = 1 :
Min
1in
λ i t X S X Max
1in
λ i
b) Min
1in
λ i = Inf
X∈M n,1 (R)
t X X=1
t X S X
et Max
1in
λ i = Sup
X∈M n,1 (R)
t X X=1
t X S X.
4.5.8 Soient n ∈ N − {0,1}, d 1 ,. . . ,d n ∈ R tels que
d 1 < · · · < d n , A =
d 1
1
. . .
1
d n
.
Montrer que A est diagonalisable dans M n (R) et que ses
valeurs propres λ 1 ,. . . ,λ n vérifient :
d 1 − 1 < λ 1 < d 2 − 1 <. . .< λ n−1 < d n − 1 < λ n < d n + n − 1.
Exercices
4.5.2 Réduction simultanée
Théorème
Soient (E,< ·,· >) un eve, ϕ une fbs sur E × E. Il existe une b.o.n. de E dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale.
Preuve
L'eve E admet au moins une b.o.n. B 1 ; notons A 1 = Mat B 1 (ϕ) .
Puisque A 1 est symétrique, d'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164), il existe Ω ∈ O n (R),
D ∈ D n (R) telle que A 1 = Ω DΩ −1 .
B 1 est une b.o.n. de (E,< .,. >).
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