Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Conseils
Par calcul du produit de trois matrices.
Solution
Vérification :
On a :
P(S) =
1
7
(S + 6I 3 ) =
1
3


4 1 1
1 4 1
1 1 4


et :
P(S)
3 =
1
3


10 7
7
7 10 7
7
7 10

 = S.
Exercice-type résolu 3
Étude de certaines matrices carrées réelles commutant avec leur transposée
Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (R). On suppose que A
t
A =
t
A A et que A
t
A admet n valeurs propres deux à deux distinctes.
Démontrer :
t
A = A.
Conseils
Lorsqu'une matrice symétrique réelle intervient, penser à utiliser éventuellement le
théorème fondamental.
On utilise S = t A A et S = A t A.
Autrement dit, comme A et S commutent,
par changement de base, B et D commutent.
Lorsqu'une matrice diagonale intervient,
penser à passer éventuellement aux
éléments des matrices.
Car λ 1 ,...,λ n sont deux à deux distincts.
Solution
Notons S = A
t
A =
t
A A, qui est symétrique car :
t
S =
t
(A
t
A) =
t t
A
t
A = A
t
A = S.
D'après le théorème fondamental, il existe
Ω ∈ O n (R), D = diag (λ 1 ,...,λ n ) ∈ D n (R) telles que : S = Ω DΩ
−1
.
Notons B = Ω
−1 AΩ, de sorte que : A = Ω BΩ
−1
.
On a :
AS = A(
t
A A) = (A
t
A)A = S A,
donc :
B D = (Ω
−1 AΩ)(Ω
−1 SΩ) = Ω
−1 (AS)Ω
= Ω
−1 (S A)Ω = (Ω
−1 SΩ)(Ω
−1 AΩ) = D B.
On a, en notant B = (b i j ) i j :
B D = D B ⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 , b i j λ j = λ i b i j
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 , b i j (λ j − λ i ) = 0
⇐⇒ ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 ,
i = j ⇒ b i j = 0
.
Ceci montre que B est diagonale.
On a alors :
t
A =
t
(Ω BΩ
−1 ) = Ω
t
B
t
Ω = Ω BΩ
−1 = A.