4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
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Conseils
Lorsqu'une matrice symétrique réelle intervient, penser à utiliser éventuellement le
théorème fondamental.
Pour tout (i, j) tel que λ i = λ j , on a :
3
√
λ i = 3
λ j .
Attention : Bien placer le coefficient
1
3
dans chaque terme de la matrice.
C 1
C 1 + C 2 + C 3 .
L 2
L 2 − L 1
L 3
L 3 − L 1 .
On contrôle :
1 + 1 + 8 = tr (S) =
1
3
(10 + 10 + 10).
On peut choisir P de degré 1, c'est-à-dire
n − 2 , car S admet une valeur propre
double.
Solution
a) D'après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R), D =
diag (λ 1 ,...,λ n ) ∈ D n (R) telles que : S = Ω DΩ
−1
.
Notons ∆ = diag (
3
√
λ 1 ,...,
3
√
λ n ) et R = Ω∆Ω
−1
.
Alors :
t
R =
t
(Ω∆Ω
−1 ) =
t
Ω
−1 t
∆
t
Ω = Ω∆Ω
−1 = R
et
R
3 = (Ω∆Ω
−1 )
3 = Ω∆
3 Ω
−1 = Ω DΩ
−1 = S.
D'après l'étude des polynômes d'interpolation de Lagrange sur les λ k qui sont deux
à deux distincts, il existe P ∈ R n−1 [X] tel que :
∀ i ∈ {1,...,n},
3
λ i = P(λ i ).
On a alors :
∆ = diag (
3
λ 1 ,...,
3
λ n ) = diag
P(λ 1 ),...,P(λ n )
= P
diag (λ 1 ,...,λ n )
= P(D),
puis :
R = Ω∆Ω
−1 = Ω P(D)Ω
−1 = P(Ω∆Ω
−1 ) = P(S).
Ainsi, P convient.
b) Remarquer d'abord que S est symétrique réelle.
On détermine les valeurs propres de S en formant le polynôme caractéristique
de S :
χ S (λ) = det (S − λI 3 ) =
10
3
− λ
7
3
7
3
7
3
10
3
− λ
7
3
7
3
7
3
10
3
− λ
=
1
27
10 − 3λ
7
7
7
10− 3λ
7
7
7
1 0− 3λ
=
1
27
(24 − 3λ)
1
7
7
1 10− 3λ
7
1
7
10− 3λ
=
1
9
(8 − λ)
1
7
7
0 3− 3λ
0
0
0
3− 3λ
=
1
9
(8 − λ)(3 − 3λ)
2
= (8 − λ)(1 − λ)
2 = −(λ − 1)
2 (λ − 8).
On en déduit les valeurs propres de S : 1 (double), 8 (simple).
On va déterminer un polynôme d'interpolation P envoyant respectivement 1 en 1
et 8 en 2.
En notant P = aX + b, (a,b) ∈ R
2 , on a :
P(1) = 1
P(8) = 2
⇐⇒
a + b = 1
8a + b = 2
⇐⇒
7a = 1
7b = 6.
Le polynôme P =
1
7
X +
6
7
convient.
−→
−→
−→