Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Conseils
Lorsqu'intervient un endomorphisme
symétrique ou une matrice symétrique,
penser à utiliser éventuellement le
théorème fondamental.
On a, par définition de D :
∀i ∈ {1,...,n}, f (e i ) = λ i e i .
Puisque Sp R ( f ) ∩ [a ; b] = ∅, on a :
∀ i ∈ {1,...,n}, λ i /
∈ [a ; b].
Solution
Puisque f ∈ S(E), d'après le théorème fondamental, il existe une bon
B = (e 1 ,...,e n ) de E et une matrice diagonale D = diag (λ 1 ,...,λ n ) ∈ D n (R)
telles que : Mat B ( f ) = D.
Soit x ∈ E.
Notons X = Mat B (x) =



x 1
. . .
x n


 . On a :
f (x) − ax = f
n
i=1
x i e i
− a
n
i=1
x i e i
=
n
i=1
x i λ i e i −
n
i=1
ax i e i =
n
i=1
(λ i − a)x i e i .
De même : f (x) − bx =
n
i=1
(λ i − b)x i e i .
Puisque (e 1 ,...,e n ) est une bon, il en résulte :
f (x) − ax
f (x) − bx
=
n
i=1
(λ i − a)(λ i − b)x
2
i .
Comme Sp R ( f ) ∩ ]a ; b[ = ∅, on a :
∀ i ∈ {1,...,n},
λ i a ou λ i b
,
donc :
∀ i ∈ {1,...,n}, (λ i − a)(λ i − b) 0,
puis, par addition, puisque les x
2
i sont tous 0 :
f (x) − ax
f (x) − bx
0.
Étude du cas d'égalité :
Supposons Sp R ( f ) ∩ [a ; b] = ∅.
Soit x ∈ E tel que
f (x) − ax
f (x) − bx
= 0.
Avec les notations précédentes, on a alors :

 
 
n
i=1
(λ i − a)(λ i − b)x
2
i = 0
∀ i ∈ {1,...,n}, (λ i − a)(λ i − b) > 0.
D'où : ∀ i ∈ {1,...,n}, x
2
i = 0, et donc x = 0.
La réciproque est immédiate.
On conclut que, si Sp R ( f ) ∩ [a ; b] = ∅, il y a égalité dans l'inégalité de l'énoncé
si et seulement si x = 0.
Exercice-type résolu 2
Racine cubique d’une matrice carrée symétrique réelle, exemple
a) Soient n ∈ N
∗
, S ∈ S n (R). Montrer qu'il existe P ∈ R n−1 [X] tel que : S =
P(S)
3 .
b) Calculer un tel P pour S =
1
3


10 7
7
7 10 7
7
7 10

 .