4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
165
L'application ϕ : ]d 1 ; +∞[−→ R
λ −→
n
i=1
g 2
i
d i −λ + λ
est continue sur ]d 1 ; +∞[, de limite −∞ en d
+
1 et
de limite +∞ en +∞, donc (théorème des valeurs intermédiaires) il existe λ ∈]d 1 ; +∞[ tel que
ϕ(λ) = α.
On a ainsi montré que A
admet au moins une vp et un − →
vp réels, donc f admet au moins une vp est un − →
vp .
2) En notant x 0 un − →
vp pour f, Rx 0 est stable par f, donc (cf. Prop. 2 p. 147) (Rx 0 ) ⊥ est aussi stable
par f. Dans une b.o.n. de E commençant par
1
||x 0 ||
x 0 , la matrice de f est donc de la forme
λ 0 0
0 S
,
où λ 0 ∈ R , S ∈ S n (R). D'après l'hypothèse de récurrence, il existe Ω 1 ∈ O n (R), D 1 ∈ D n (R) telles
que S = Ω 1 D 1 Ω
−1
1 . En notant Ω 2 =
1
0
0 Ω 1
et D 2 =
λ 0
0
0 D 1
, il est clair que :
Ω 2 ∈ O n+1 (R), D 2 ∈ D n+1 (R),
λ 0 0
0 S
= Ω 2 D 2 Ω
−1
2 .
Ceci montre qu'il existe une b.o.n. de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.
Remarque :
L'existence d'une valeur propre réelle pour une matrice A ∈ S n (R) peut être démontrée
autrement, en passant par les nombres complexes, de la façon suivante.
D'après le théorème de d'Alembert, A admet au moins une valeur propre complexe.
Montrons que les valeurs propres de A, a priori complexes, sont toutes réelles.
Soit λ ∈ Sp C (A). Il existe X ∈ M n,1 (C) tel que AX = λX et X = 0.
On a alors, en utlisant la notion de transconjuguée (cf. plus loin, § 5.1.2 1) p. 190) :
X
∗ AX = X
∗
(AX) = X
∗
λX = λX
∗ X = λ||X||
2
2
X
∗ AX = (A
∗ X)
∗ X = (AX)
∗ X = (λX)
∗ X = λX
∗ X = λ||X||
2
2 ,
où ||.|| 2 désigne la norme hermitienne usuelle sur M n,1 (C).
D'où : (λ − λ)||X||
2
2 = 0. Comme X = 0, on a ||X|| | = 0, et donc λ − λ = 0, λ ∈ R.
Ceci montre que toute valeur propre de A est réelle.
Finalement, A admet au moins une valeur propre réelle.
Remarques :
1) Le Th. précédent peut aussi s'énoncer sous la forme suivante : pour tout endomorphisme
symétrique f de E , E est somme directe orthogonale des SEP pour f.
2) En pratique, comme Ω est orthogonale, on pourra remplacer Ω −1 par t Ω.
3) Une matrice symétrique complexe (d’ordre 2) peut ne pas être diagonalisable (ex. 4.5.2).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Intervention de l’analyse dans un
contexte d’algèbre.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 4.5.1 à 4.5.8.
Exercice-type résolu 1
Propriété des endomorphismes symétriques f tels que Sp R ( f ) ∩ ]a ; b[ = ∅.
Soient
E,(. | .)
un eve, f ∈ S(E), (a,b) ∈ R
2 tel que a < b.
On suppose :
Sp R ( f ) ∩ ]a ; b[ = ∅.
Montrer :
∀ x ∈ E,
f (x) − ax
f (x) − bx
0,
et étudier le cas d'égalité en supposant Sp R ( f ) ∩ [a ; b] = ∅.
165
L'application ϕ : ]d 1 ; +∞[−→ R
λ −→
n
i=1
g 2
i
d i −λ + λ
est continue sur ]d 1 ; +∞[, de limite −∞ en d
+
1 et
de limite +∞ en +∞, donc (théorème des valeurs intermédiaires) il existe λ ∈]d 1 ; +∞[ tel que
ϕ(λ) = α.
On a ainsi montré que A
admet au moins une vp et un − →
vp réels, donc f admet au moins une vp est un − →
vp .
2) En notant x 0 un − →
vp pour f, Rx 0 est stable par f, donc (cf. Prop. 2 p. 147) (Rx 0 ) ⊥ est aussi stable
par f. Dans une b.o.n. de E commençant par
1
||x 0 ||
x 0 , la matrice de f est donc de la forme
λ 0 0
0 S
,
où λ 0 ∈ R , S ∈ S n (R). D'après l'hypothèse de récurrence, il existe Ω 1 ∈ O n (R), D 1 ∈ D n (R) telles
que S = Ω 1 D 1 Ω
−1
1 . En notant Ω 2 =
1
0
0 Ω 1
et D 2 =
λ 0
0
0 D 1
, il est clair que :
Ω 2 ∈ O n+1 (R), D 2 ∈ D n+1 (R),
λ 0 0
0 S
= Ω 2 D 2 Ω
−1
2 .
Ceci montre qu'il existe une b.o.n. de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.
Remarque :
L'existence d'une valeur propre réelle pour une matrice A ∈ S n (R) peut être démontrée
autrement, en passant par les nombres complexes, de la façon suivante.
D'après le théorème de d'Alembert, A admet au moins une valeur propre complexe.
Montrons que les valeurs propres de A, a priori complexes, sont toutes réelles.
Soit λ ∈ Sp C (A). Il existe X ∈ M n,1 (C) tel que AX = λX et X = 0.
On a alors, en utlisant la notion de transconjuguée (cf. plus loin, § 5.1.2 1) p. 190) :
X
∗ AX = X
∗
(AX) = X
∗
λX = λX
∗ X = λ||X||
2
2
X
∗ AX = (A
∗ X)
∗ X = (AX)
∗ X = (λX)
∗ X = λX
∗ X = λ||X||
2
2 ,
où ||.|| 2 désigne la norme hermitienne usuelle sur M n,1 (C).
D'où : (λ − λ)||X||
2
2 = 0. Comme X = 0, on a ||X|| | = 0, et donc λ − λ = 0, λ ∈ R.
Ceci montre que toute valeur propre de A est réelle.
Finalement, A admet au moins une valeur propre réelle.
Remarques :
1) Le Th. précédent peut aussi s'énoncer sous la forme suivante : pour tout endomorphisme
symétrique f de E , E est somme directe orthogonale des SEP pour f.
2) En pratique, comme Ω est orthogonale, on pourra remplacer Ω −1 par t Ω.
3) Une matrice symétrique complexe (d’ordre 2) peut ne pas être diagonalisable (ex. 4.5.2).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Intervention de l’analyse dans un
contexte d’algèbre.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 4.5.1 à 4.5.8.
Exercice-type résolu 1
Propriété des endomorphismes symétriques f tels que Sp R ( f ) ∩ ]a ; b[ = ∅.
Soient
E,(. | .)
un eve, f ∈ S(E), (a,b) ∈ R
2 tel que a < b.
On suppose :
Sp R ( f ) ∩ ]a ; b[ = ∅.
Montrer :
∀ x ∈ E,
f (x) − ax
f (x) − bx
0,
et étudier le cas d'égalité en supposant Sp R ( f ) ∩ [a ; b] = ∅.