Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
164
Théorème
Théorème fondamental
1) Soient (E,< ·,· >) un eve, f un endomorphisme symétrique de E. Il existe une
b.o.n. de E dans laquelle la matrice de f est diagonale
2) ∀ S ∈ S n (R), ∃(Ω,D) ∈ O n (R) × D n (R), S = Ω DΩ −1
Preuve
Il est clair que 2) est la traduction matricielle de 1).
Récurrence sur n (n = dim (E) )
La propriété est immédiate lorsque n = 1.
Supposons-la vraie pour un entier n de N ∗ , et soient E un eve de dimension n + 1, f un endomorphisme
symétrique de E , B 1 une b.o.n. de E , A = Mat B 1 ( f ). Décomposons A en blocs :
A =
α t C
C B
, où α ∈ R, C ∈ M n,1 (R), B ∈ S n (R).
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe Ω ∈ O n (R), D ∈ D n (R) telles que B = Ω DΩ −1 .
En notant U =
1 0
0 Ω
, il est clair que U est orthogonale et U −1 =
1
0
0 Ω −1
, d'où, après
produit par blocs : U −1 AU =
α
t CΩ
Ω −1 C
D
.
Notons G = Ω −1 C et A = U −1 AU =
α t G
G D
.
1) Montrons que A admet au moins une vp et un − →
vp .
En notant G =
g 1
. . .
g n
, D = diag(d 1 ,. . . ,d n ), on a :
S’il existe k ∈ {1,. . . ,n} tel que g k = 0 , alors d k est vp de A (et un − →
vp associé est E k+1 ).
Nous pouvons donc supposer : ∀ k ∈ {1,. . . n}, g k = 0 .
Soient λ ∈ R, V ∈ M n+1, 1 (R) .
En décomposant V en blocs V =
x
X
, où x ∈ R et X ∈ M n,1 (R), on a :
A
V = λV ⇐⇒
α t G
G D
x
X
= λ
x
X
⇐⇒
αx + t G X = λx
xG + D X = λX
.
On peut supposer d 1 . . . d n . Supposons λ > d 1 ; alors D − λI n est inversible, et donc :
A
V = λV ⇐⇒
X = −x(D − λI n ) −1 G
αx − x t G(D − λI n ) −1 G = λx
.
On a :
t G(D − λI n )
−1 G + λ = α ⇐⇒
n
i=1
g 2
i
d i − λ
+ λ = α.
Ce théorème fondamental porte aussi le
nom de théorème spectral.
Le lecteur trouvera une autre
démonstration « réelle » en exercice (ex.
4.5.1 p. 169).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On a :
t G = t (Ω −1 C) = t C t Ω −1 = t CΩ ,
car Ω est orthogonale.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Si g k = 0, alors la colonne n ◦ k + 1
de A est d k E k+1 .
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
xG + D X = λX
⇐⇒ (D − λI n )X = −xG.
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Théorème
Théorème fondamental
1) Soient (E,< ·,· >) un eve, f un endomorphisme symétrique de E. Il existe une
b.o.n. de E dans laquelle la matrice de f est diagonale
2) ∀ S ∈ S n (R), ∃(Ω,D) ∈ O n (R) × D n (R), S = Ω DΩ −1
Preuve
Il est clair que 2) est la traduction matricielle de 1).
Récurrence sur n (n = dim (E) )
La propriété est immédiate lorsque n = 1.
Supposons-la vraie pour un entier n de N ∗ , et soient E un eve de dimension n + 1, f un endomorphisme
symétrique de E , B 1 une b.o.n. de E , A = Mat B 1 ( f ). Décomposons A en blocs :
A =
α t C
C B
, où α ∈ R, C ∈ M n,1 (R), B ∈ S n (R).
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe Ω ∈ O n (R), D ∈ D n (R) telles que B = Ω DΩ −1 .
En notant U =
1 0
0 Ω
, il est clair que U est orthogonale et U −1 =
1
0
0 Ω −1
, d'où, après
produit par blocs : U −1 AU =
α
t CΩ
Ω −1 C
D
.
Notons G = Ω −1 C et A = U −1 AU =
α t G
G D
.
1) Montrons que A admet au moins une vp et un − →
vp .
En notant G =
g 1
. . .
g n
, D = diag(d 1 ,. . . ,d n ), on a :
S’il existe k ∈ {1,. . . ,n} tel que g k = 0 , alors d k est vp de A (et un − →
vp associé est E k+1 ).
Nous pouvons donc supposer : ∀ k ∈ {1,. . . n}, g k = 0 .
Soient λ ∈ R, V ∈ M n+1, 1 (R) .
En décomposant V en blocs V =
x
X
, où x ∈ R et X ∈ M n,1 (R), on a :
A
V = λV ⇐⇒
α t G
G D
x
X
= λ
x
X
⇐⇒
αx + t G X = λx
xG + D X = λX
.
On peut supposer d 1 . . . d n . Supposons λ > d 1 ; alors D − λI n est inversible, et donc :
A
V = λV ⇐⇒
X = −x(D − λI n ) −1 G
αx − x t G(D − λI n ) −1 G = λx
.
On a :
t G(D − λI n )
−1 G + λ = α ⇐⇒
n
i=1
g 2
i
d i − λ
+ λ = α.
Ce théorème fondamental porte aussi le
nom de théorème spectral.
Le lecteur trouvera une autre
démonstration « réelle » en exercice (ex.
4.5.1 p. 169).
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On a :
t G = t (Ω −1 C) = t C t Ω −1 = t CΩ ,
car Ω est orthogonale.
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Si g k = 0, alors la colonne n ◦ k + 1
de A est d k E k+1 .
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xG + D X = λX
⇐⇒ (D − λI n )X = −xG.
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