4.5 • Réduction des matrices symétriques réelles
163
Définition 2
Un endomorphisme symétrique f de E est dit :
1) symétrique positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
2) symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
∀ x ∈ E, (< x, f (x) > = 0 ⇒ x = 0)
.
Remarques :
1) Un endomorphisme symétrique f de E est symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E − {0}, < x, f (x) >> 0.
2) Les qualificatifs « positif », « défini-positif » ne peuvent s'appliquer ici qu'à un
endomorphisme symétrique (et non à tout endomorphisme).
3) Un endomorphisme symétrique f de E est dit négatif (resp. défini-négatif) si et
seulement si − f est symétrique positif (resp. défini-positif ).
4) Soit f un endomorphisme symétrique de E ; notons φ f : E −→ R
x −→< x, f (x) >
. Il est clair que
φ f est une forme quadratique sur E (appelée forme quadratique associée à f), et que f est
symétrique positif (resp. défini-positif ) si et seulement si φ f est une fq positive (resp. définiepositive).
4.5 Réduction des matrices symétriques
réelles
4.5.1
Théorème fondamental
Proposition 1
Soient (E,< ·,· >) un eve, f un endomorphisme symétrique de E. Alors les sousespaces propres pour f sont orthogonaux entre eux, c'est-à-dire : pour toutes vp λ,µ
de f telles que λ = µ et tous − →
vp x associé à λ, et y associé à µ : < x,y > = 0.
Preuve
Soient λ,µ ∈ Sp R ( f ) tels que λ = µ , x ∈ SEP( f,λ), y ∈ SEP( f,µ) . On a donc :
x = 0, y = 0, f (x) = λx, f (y) = µy .
D'où : < λx,y > = < f (x),y > = < x, f (y) > = < x,µy > , donc : (λ − µ) < x,y > = 0,
et finalement :
< x,y > = 0.
Proposition 2
Soit f un endomorphisme symétrique de E. Pour tout sev F de E stable par f, F ⊥ est
stable par f.
Preuve
Soient F un sev de E stable par f, x ∈ F ⊥ . On a : ∀ y ∈ F, < f (x),y > = < x, f (y) > = 0,
(car x ∈ F ⊥ et f (y) ∈ F) , d'où : f (x) ∈ F ⊥ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Définition 2
Un endomorphisme symétrique f de E est dit :
1) symétrique positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
2) symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E, < x, f (x) > 0
∀ x ∈ E, (< x, f (x) > = 0 ⇒ x = 0)
.
Remarques :
1) Un endomorphisme symétrique f de E est symétrique défini-positif si et seulement si :
∀ x ∈ E − {0}, < x, f (x) >> 0.
2) Les qualificatifs « positif », « défini-positif » ne peuvent s'appliquer ici qu'à un
endomorphisme symétrique (et non à tout endomorphisme).
3) Un endomorphisme symétrique f de E est dit négatif (resp. défini-négatif) si et
seulement si − f est symétrique positif (resp. défini-positif ).
4) Soit f un endomorphisme symétrique de E ; notons φ f : E −→ R
x −→< x, f (x) >
. Il est clair que
φ f est une forme quadratique sur E (appelée forme quadratique associée à f), et que f est
symétrique positif (resp. défini-positif ) si et seulement si φ f est une fq positive (resp. définiepositive).
4.5 Réduction des matrices symétriques
réelles
4.5.1
Théorème fondamental
Proposition 1
Soient (E,< ·,· >) un eve, f un endomorphisme symétrique de E. Alors les sousespaces propres pour f sont orthogonaux entre eux, c'est-à-dire : pour toutes vp λ,µ
de f telles que λ = µ et tous − →
vp x associé à λ, et y associé à µ : < x,y > = 0.
Preuve
Soient λ,µ ∈ Sp R ( f ) tels que λ = µ , x ∈ SEP( f,λ), y ∈ SEP( f,µ) . On a donc :
x = 0, y = 0, f (x) = λx, f (y) = µy .
D'où : < λx,y > = < f (x),y > = < x, f (y) > = < x,µy > , donc : (λ − µ) < x,y > = 0,
et finalement :
< x,y > = 0.
Proposition 2
Soit f un endomorphisme symétrique de E. Pour tout sev F de E stable par f, F ⊥ est
stable par f.
Preuve
Soient F un sev de E stable par f, x ∈ F ⊥ . On a : ∀ y ∈ F, < f (x),y > = < x, f (y) > = 0,
(car x ∈ F ⊥ et f (y) ∈ F) , d'où : f (x) ∈ F ⊥ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.