Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
162
4.4.2 Endomorphismes remarquables
d'un espace euclidien
Nous reprenons en partie et prolongeons l'étude vue en 4.3 et 4.4.1.
Proposition 1
Soient E un eve, f ∈ L(E).
1) f est symétrique si et seulement si : f ∗ = f.
2) Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est orthogonal
(ii) f ∗ ◦ f = Id E
(iii) f ◦ f ∗ = Id E .
Preuve
1) f symétrique ⇐⇒ ∀ (x,y) ∈ E 2 , < f (x) , y > = < x , f (y) >
⇐⇒ f
∗ = f.
2) f orthogonal ⇐⇒ ∀ (x,y) ∈ E 2 , < f (x) , f (y) > = < x , y >
⇐⇒ ∀ (x,y) ∈ E 2 , < x , f
∗
f (y)
> = < x , y >
⇐⇒ f
∗ ◦ f = Id E .
D'autre part, puisque E est de dimension finie et que ( f, f ∗ ) ∈
L(E)
2 , on a :
f
∗ ◦ f = Id E ⇐⇒ f ◦ f
∗ = Id E .
Définition 1
Soient E un eve, f ∈ L(E). On dit que f est antisymétrique si et seulement si :
f ∗ = − f.
La Proposition suivante est immédiate, grâce au lien entre adjoint pour un endomorphisme et
transposée pour une matrice.
Proposition 2
Soient E un eve, f ∈ L(E), B une b.o.n. de E, A = Mat B ( f ). On a :
1) f est symétrique si et seulement si :
t A = A
2) f est antisymétrique si et seulement si :
t A = −A
3) f est orthogonal si et seulement si :
t A A = I n .
4.4.1 On munit M n (R) du produit scalaire canonique
(X,Y ) −→ tr ( t XY ).
Soient A ∈ M n (R), ϕ A : M n (R) −→ M n (R)
X −→ t AX A
. Montrer
ϕ A ∈ L (M n (R)) et calculer l'adjoint (ϕ A ) ∗ de ϕ A .
4.4.2 Soient (E,< ·,· >) un eve, f ∈ L(E) tel que
f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f, F un sev de E stable par f, g l'endomorphisme de F induit par f ; on munit F du produit scalaire
induit par < ·,· > . Montrer :
g ◦ g
∗ = g
∗ ◦ g.
Exercices
1) Caractérisation des endomorphismes
symétriques à l’aide de l’adjoint.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Caractérisation des endomorphismes
symétriques (resp.antisymétrique,resp.
orthogonaux) à l’aide de leur matrice
dans une base orthonormée.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
2) Caractérisation des endomorphismes
orthogonaux à l’aide de l’adjoint.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
162
4.4.2 Endomorphismes remarquables
d'un espace euclidien
Nous reprenons en partie et prolongeons l'étude vue en 4.3 et 4.4.1.
Proposition 1
Soient E un eve, f ∈ L(E).
1) f est symétrique si et seulement si : f ∗ = f.
2) Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est orthogonal
(ii) f ∗ ◦ f = Id E
(iii) f ◦ f ∗ = Id E .
Preuve
1) f symétrique ⇐⇒ ∀ (x,y) ∈ E 2 , < f (x) , y > = < x , f (y) >
⇐⇒ f
∗ = f.
2) f orthogonal ⇐⇒ ∀ (x,y) ∈ E 2 , < f (x) , f (y) > = < x , y >
⇐⇒ ∀ (x,y) ∈ E 2 , < x , f
∗
f (y)
> = < x , y >
⇐⇒ f
∗ ◦ f = Id E .
D'autre part, puisque E est de dimension finie et que ( f, f ∗ ) ∈
L(E)
2 , on a :
f
∗ ◦ f = Id E ⇐⇒ f ◦ f
∗ = Id E .
Définition 1
Soient E un eve, f ∈ L(E). On dit que f est antisymétrique si et seulement si :
f ∗ = − f.
La Proposition suivante est immédiate, grâce au lien entre adjoint pour un endomorphisme et
transposée pour une matrice.
Proposition 2
Soient E un eve, f ∈ L(E), B une b.o.n. de E, A = Mat B ( f ). On a :
1) f est symétrique si et seulement si :
t A = A
2) f est antisymétrique si et seulement si :
t A = −A
3) f est orthogonal si et seulement si :
t A A = I n .
4.4.1 On munit M n (R) du produit scalaire canonique
(X,Y ) −→ tr ( t XY ).
Soient A ∈ M n (R), ϕ A : M n (R) −→ M n (R)
X −→ t AX A
. Montrer
ϕ A ∈ L (M n (R)) et calculer l'adjoint (ϕ A ) ∗ de ϕ A .
4.4.2 Soient (E,< ·,· >) un eve, f ∈ L(E) tel que
f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f, F un sev de E stable par f, g l'endomorphisme de F induit par f ; on munit F du produit scalaire
induit par < ·,· > . Montrer :
g ◦ g
∗ = g
∗ ◦ g.
Exercices
1) Caractérisation des endomorphismes
symétriques à l’aide de l’adjoint.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Caractérisation des endomorphismes
symétriques (resp.antisymétrique,resp.
orthogonaux) à l’aide de leur matrice
dans une base orthonormée.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
2) Caractérisation des endomorphismes
orthogonaux à l’aide de l’adjoint.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier