4.4 • Adjoint
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Exercice-type résolu
Étude d’adjoint
Soient
E,(. |. )
un eve, e = Id E , f ∈ L(E) tel que f
2
= −e. Montrer :
f
∗ ◦ f = f ◦ f
∗ ⇐⇒ f
∗ = − f.
Conseils
Commencer par le sens le plus facile.
Pour montrer f ∗ + f = 0 , on va établir
que, pour tout x de E :
( f ∗ + f )(x) 2 = 0 .
Utilisation de la définition de l’adjoint f ∗ .
On sait : f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f et f 2 = −e.
Utilisation de la définition de l’adjoint f ∗ .
f ∗ vérifie les mêmes hypothèses que f.
On a vu : f
∗
◦ f ∈ G(E) .
Solution
1) Supposons f
∗
= − f.
On a :
f
∗
◦ f = (− f ) ◦ f = − f
2
= e
f ◦ f
∗
= f ◦ (− f ) = − f
2
= e,
donc : f
∗
◦ f = f ◦ f
∗
.
2) Réciproquement, supposons f
∗
◦ f = f ◦ f
∗
.
• Alors :
( f
∗ ◦ f )
∗ ◦ ( f
∗ ◦ f ) = ( f
∗ ◦ f ) ◦ ( f
∗ ◦ f ) = f
∗ ◦ ( f ◦ f
∗ ) ◦ f
= f
∗ ◦ ( f
∗ ◦ f ) ◦ f = ( f
∗ )
2 ◦ f
2 = (−e) ◦ (−e) = e.
Ceci montre : f
∗
◦ f ∈ O(E).
• On a, pour tout x ∈ E :
0 ( f
∗
+ f )(x)
2
=
f
∗
(x) + f (x)| f
∗
(x) + f (x)
=
f
∗
(x)| f
∗
(x)
+
f
∗
(x)| f (x)
+
f (x)| f
∗
(x)
+
f (x)| f (x)
=
f ( f
∗
(x))|x
+
x| f ( f (x))
+
f ( f (x))|x
+
f (x)| f (x)
=
f
∗
◦ f (x)|x
− −x
2
− −x
2
+ + f (x)
2
= 2 f (x)
2
− 2x
2 .
Ceci montre : ∀ x ∈ E, x f (x).
• Comme f
∗ vérifie : ( f
∗
)
2
= ( f
2
)
∗
= (−e)
∗
= −e
et f
∗
◦ f = f ◦ f
∗ , on a aussi : ∀ y ∈ E, y f
∗
(y).
• D’où, pour tout x ∈ E :
x f (x) f
∗
( f (x)) = =( f
∗
◦ f )(x) = =x.
Il en résulte : ∀ x ∈ E, x = = f (x) ,
puis : ∀ x ∈ E, ( f
∗
+ f )(x) = 0 ,
et donc : f
∗
+ f = 0, f
∗
= − f.
Les méthodes à retenir
Adjoint
• Pour calculer l’adjoint d’un endomorphisme f d’un espace vectoriel euclidien (E,< ,· >) , on peut essayer de :
* se ramener à la définition, c’est-à-dire, exprimer pour x,y ∈ E quelconques, < f (x),y > sous la forme
< x,g(y) >, où g est à trouver, indépendant de x et y (ex. 4.4.1)
* utiliser la matrice A de f dans une b.o.n B de E ; on a alors Mat B ( f ∗ ) =
t A.