Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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2) On a, pour tout (x,y) ∈ E 2 :
< Id E (x) , y > = < x , y > = < x , Id E (y) > ,
donc :
(Id E )
∗ = Id E .
3) On a, pour tout (x,y) ∈ E 2 :
< (g ◦ f )(x) , y > = < g
f (x)
, y > = < f (x) , g
∗ (y) >
= < x , f
∗
g
∗ (y)
> = < x , ( f
∗ ◦ g
∗ )(y) > ,
d’où :
(g ◦ f )
∗ = f
∗ ◦ g
∗ .
4) On a, pour tout (x,y) ∈ E 2 , en utilisant la symétrie du produit scalaire :
< x , f (y) > = < f (y) , x > = < y , f
∗ (x) > = < f
∗ (x) , y >=< x , ( f
∗ )
∗ (y) > ,
donc :
f = ( f
∗ )
∗ .
5) et 6) Soit f ∈ L(E).
• Si f ∈ GL(E), alors, d’après 4) :
f ∗ ◦ ( f −1 ) ∗ = ( f −1 ◦ f ) ∗ = (Id E ) ∗ = Id E
( f −1 ) ∗ ◦ f ∗ = ( f ◦ f −1 ) ∗ = (Id E ) ∗ = Id E ,
donc f ∗ ∈ GL(E) et ( f ∗ ) −1 = ( f −1 ) ∗ .
• Si f ∗ ∈ GL(E), alors f = ( f ∗ ) ∗ ∈ GL(E), d’après le point précédent, appliqué à f ∗ à la place
de f.
2 ème méthode : passer par les matrices dans une b.o.n.
L’espace vectoriel euclidien E admet au moins une b.o.n. B . Soient α ∈ R, f,g ∈ L(E)
A = Mat B ( f ), B = Mat B (g). On a, en utilisant les propriétés de la transposition des matrices :
1) t (α A + B) = α t A + t B, donc (α f + g) ∗ = α f ∗ + g ∗
2) t I n = I n , donc (Id E ) ∗ = Id E
3) t (B A) = t A t B, donc (g ◦ f ) ∗ = f ∗ ◦ g ∗
4) t ( t A) = A, donc ( f ∗ ) ∗ = f
5) A ∈ GL n (R) ⇐⇒ t A ∈ GL n (R), donc : f ∈ GL(E) ⇐⇒ f ∗ ∈ GL(E)
6) ∀ A ∈ GL n (R), ( t A) −1 = t (A −1 ), donc : ∀ f ∈ GL(E), ( f ∗ ) −1 = ( f −1 ) ∗ .
7) Avec les notations précédentes :
rg ( t A) = rg (A), tr ( t A) = tr (A), det ( t A) = det (A), Sp R ( t A) = Sp R (A),
d’où les résultats analogues sur les endomorphismes.
Remarque :
Soit A ∈ M n (R) ; bien que A et t A aient les mêmes valeurs propres, « en général » A et
t A n’ont pas les mêmes vecteurs propres, comme le montre l’exemple : n = 2, A =
0 1
0 0
.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 8.1.8.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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2) On a, pour tout (x,y) ∈ E 2 :
< Id E (x) , y > = < x , y > = < x , Id E (y) > ,
donc :
(Id E )
∗ = Id E .
3) On a, pour tout (x,y) ∈ E 2 :
< (g ◦ f )(x) , y > = < g
f (x)
, y > = < f (x) , g
∗ (y) >
= < x , f
∗
g
∗ (y)
> = < x , ( f
∗ ◦ g
∗ )(y) > ,
d’où :
(g ◦ f )
∗ = f
∗ ◦ g
∗ .
4) On a, pour tout (x,y) ∈ E 2 , en utilisant la symétrie du produit scalaire :
< x , f (y) > = < f (y) , x > = < y , f
∗ (x) > = < f
∗ (x) , y >=< x , ( f
∗ )
∗ (y) > ,
donc :
f = ( f
∗ )
∗ .
5) et 6) Soit f ∈ L(E).
• Si f ∈ GL(E), alors, d’après 4) :
f ∗ ◦ ( f −1 ) ∗ = ( f −1 ◦ f ) ∗ = (Id E ) ∗ = Id E
( f −1 ) ∗ ◦ f ∗ = ( f ◦ f −1 ) ∗ = (Id E ) ∗ = Id E ,
donc f ∗ ∈ GL(E) et ( f ∗ ) −1 = ( f −1 ) ∗ .
• Si f ∗ ∈ GL(E), alors f = ( f ∗ ) ∗ ∈ GL(E), d’après le point précédent, appliqué à f ∗ à la place
de f.
2 ème méthode : passer par les matrices dans une b.o.n.
L’espace vectoriel euclidien E admet au moins une b.o.n. B . Soient α ∈ R, f,g ∈ L(E)
A = Mat B ( f ), B = Mat B (g). On a, en utilisant les propriétés de la transposition des matrices :
1) t (α A + B) = α t A + t B, donc (α f + g) ∗ = α f ∗ + g ∗
2) t I n = I n , donc (Id E ) ∗ = Id E
3) t (B A) = t A t B, donc (g ◦ f ) ∗ = f ∗ ◦ g ∗
4) t ( t A) = A, donc ( f ∗ ) ∗ = f
5) A ∈ GL n (R) ⇐⇒ t A ∈ GL n (R), donc : f ∈ GL(E) ⇐⇒ f ∗ ∈ GL(E)
6) ∀ A ∈ GL n (R), ( t A) −1 = t (A −1 ), donc : ∀ f ∈ GL(E), ( f ∗ ) −1 = ( f −1 ) ∗ .
7) Avec les notations précédentes :
rg ( t A) = rg (A), tr ( t A) = tr (A), det ( t A) = det (A), Sp R ( t A) = Sp R (A),
d’où les résultats analogues sur les endomorphismes.
Remarque :
Soit A ∈ M n (R) ; bien que A et t A aient les mêmes valeurs propres, « en général » A et
t A n’ont pas les mêmes vecteurs propres, comme le montre l’exemple : n = 2, A =
0 1
0 0
.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 8.1.8.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier