4.4 • Adjoint
159
Proposition-Définition 1
Pour tout f ∈ L(E), il existe g ∈ L(E) unique tel que :
∀ (x,y) ∈ E
2
, < f (x) , y > = < x , g(y) > .
Cet élément g de L(E) est appelé l’adjoint de f et noté f ∗ .
Pour toute base orthonormale B de E, on a :
Mat B ( f
∗
) =
t
Mat B ( f )
.
Preuve
Soient B une b.o.n. de E , f,g ∈ L(E). Notons A = Mat B ( f ), B = Mat B (g). On a :
∀ (x,y) ∈ E 2 , < f (x) , y > = < x , g(y) >
⇐⇒ ∀ (X,Y ) ∈
M n,1 (R)
2 , t (AX)Y = t X (BY )
⇐⇒ ∀ (X,Y ) ∈
M n,1 (R)
2 , t X t AY = t X BY
⇐⇒ ∀ X ∈ M n,1 (R),
∀ Y ∈ M n,1 (R), t
(A − t B)X
Y = 0
⇐⇒ ∀ X ∈ M n,1 (R), (A − t B)X = 0
⇐⇒ A − t B = 0 ⇐⇒ B = t A.
Ceci montre l’existence et l’unicité de g et détermine la matrice de g dans B.
᭿
On a donc :
∀ (x,y) ∈ E
2
, < f (x) , y > = < x , f
∗
(y) >
Proposition 2
Soient α ∈ R, f,g ∈ L(E). On a :
1) (α f + g) ∗ = α f ∗ + g ∗
2) (Id E ) ∗ = Id E
3) (g ◦ f ) ∗ = f ∗ ◦ g ∗
4) ( f ∗ ) ∗ = f
5) f ∈ GL(E) ⇐⇒ f ∗ ∈ GL(E)
6) ∀ f ∈ GL(E), ( f ∗ ) −1 = ( f −1 ) ∗
7) rg ( f ∗ ) = rg ( f ), tr ( f ∗ ) = tr ( f ), det ( f ∗ ) = det ( f ), Sp R ( f ∗ ) = Sp R ( f ).
Preuve
1 ère méthode : pour 1) à 6) : utilisation de la définition et de l’unicité de l’adjoint.
1) On a, pour tout (x,y) ∈ E 2 :
< (α f + g)(x) , y > = α < f (x) , y > + < g(x) , y >
= α < x , f
∗ (y) > + < x , g
∗ (y) > = < x , α f
∗ (y) + g
∗ (y) > ,
et donc, par définition et unicité de (α f + g) ∗ , on conclut :
(α f + g)
∗ = α f
∗ + g
∗ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cf.aussi la preuve de la Prop.1 du § 4.3.1
p. 147.
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Géométrie
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Gé
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(A − t B)X est orthogonal à tout
vecteur de E, donc est nul.
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