Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
158
4.4 Adjoint
4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme
d’un espace euclidien
Dans ce § 4.4, (E,< . ,. >) désigne un espace vectoriel euclidien, n = dim (E) ; la norme associée est notée ||.||.
4.3.6 Déterminer le commutant de O n (R) dans M n (R),
c'est-à-dire :
M ∈ M n (R); ∀ Ω ∈ O n (R), MΩ = Ω M
.
4.3.7 Soient E un eve, f ∈ O(E) .
a) Montrer :
∀ (x,y) ∈ Ker( f − e) × Im( f − e), < x,y > = 0.
b) En déduire que Ker( f − e) et Im( f − e) sont supplémentaires orthogonaux dans E .
4.3.8 Soient (E,(·|·)) un eve, f ∈ L(E) . Montrer que
deux des trois propriétés suivantes entraînent chaque fois
la troisième :
(i) f est une isométrie
(ii) f ◦ f = −Id E
(iii) ∀ x ∈ E, (x| f (x)) = 0.
4.3.9 Soient (E,< ·,· >) un eve, f ∈ O(E) . Montrer que
f est diagonalisable si et seulement si f est une symétrie
orthogonale.
4.3.10 On munit M n (R) du produit scalaire canonique.
Montrer que O n (R) est borné et calculer son diamètre.
4.3.11 Soient n ∈ N ∗ , Σ n l'ensemble des matrices stochastiques de M n (R), c'est-à-dire
Σ n =
A = (a i j ) i j ∈ M n (R);
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j ∈ [0; 1]
∀ i ∈ {1,. . . ,n},
n
j=1
a i j = 1
,
Π n l'ensemble des matrices de permutation de M n (R),
c'est-à-dire l'ensemble des matrices A = (a i j ) i j de M n (R)
telles qu'il existe σ ∈ S n telle que :
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j = δ σ (i), j =
1 si j = σ (i)
0 si j = σ (i)
.
Montrer : Π n = Σ n ∩ O n (R) .
4.3.12 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), B ∈ M n, p (R),
C ∈ M p,n (R), D ∈ M p (R) ,
M =
A B
C D
∈ M n+ p (R).
On suppose :
M∈ O n+ p (R) et
A ∈ O n (R) ou D ∈ O p (R)
.
Montrer :
B = 0, C = 0, A ∈ O n (R), D ∈ O p (R) .
4.3.13 Soient A ∈ A n (R), B ∈ S n (R) telles que
AB = B A.
a) Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (R), t (AX)B X = 0.
b) Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (R), ||(A + B)X|| = ||(A − B)X|| ,
où || · || désigne la norme euclidienne canonique sur
M n,1 (R) .
c) On suppose de plus B inversible. Montrer que A + B et
A − B sont inversibles et que (A + B)(A − B) −1 est
orthogonale.
Exercices
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4.4 Adjoint
4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme
d’un espace euclidien
Dans ce § 4.4, (E,< . ,. >) désigne un espace vectoriel euclidien, n = dim (E) ; la norme associée est notée ||.||.
4.3.6 Déterminer le commutant de O n (R) dans M n (R),
c'est-à-dire :
M ∈ M n (R); ∀ Ω ∈ O n (R), MΩ = Ω M
.
4.3.7 Soient E un eve, f ∈ O(E) .
a) Montrer :
∀ (x,y) ∈ Ker( f − e) × Im( f − e), < x,y > = 0.
b) En déduire que Ker( f − e) et Im( f − e) sont supplémentaires orthogonaux dans E .
4.3.8 Soient (E,(·|·)) un eve, f ∈ L(E) . Montrer que
deux des trois propriétés suivantes entraînent chaque fois
la troisième :
(i) f est une isométrie
(ii) f ◦ f = −Id E
(iii) ∀ x ∈ E, (x| f (x)) = 0.
4.3.9 Soient (E,< ·,· >) un eve, f ∈ O(E) . Montrer que
f est diagonalisable si et seulement si f est une symétrie
orthogonale.
4.3.10 On munit M n (R) du produit scalaire canonique.
Montrer que O n (R) est borné et calculer son diamètre.
4.3.11 Soient n ∈ N ∗ , Σ n l'ensemble des matrices stochastiques de M n (R), c'est-à-dire
Σ n =
A = (a i j ) i j ∈ M n (R);
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j ∈ [0; 1]
∀ i ∈ {1,. . . ,n},
n
j=1
a i j = 1
,
Π n l'ensemble des matrices de permutation de M n (R),
c'est-à-dire l'ensemble des matrices A = (a i j ) i j de M n (R)
telles qu'il existe σ ∈ S n telle que :
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j = δ σ (i), j =
1 si j = σ (i)
0 si j = σ (i)
.
Montrer : Π n = Σ n ∩ O n (R) .
4.3.12 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), B ∈ M n, p (R),
C ∈ M p,n (R), D ∈ M p (R) ,
M =
A B
C D
∈ M n+ p (R).
On suppose :
M∈ O n+ p (R) et
A ∈ O n (R) ou D ∈ O p (R)
.
Montrer :
B = 0, C = 0, A ∈ O n (R), D ∈ O p (R) .
4.3.13 Soient A ∈ A n (R), B ∈ S n (R) telles que
AB = B A.
a) Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (R), t (AX)B X = 0.
b) Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (R), ||(A + B)X|| = ||(A − B)X|| ,
où || · || désigne la norme euclidienne canonique sur
M n,1 (R) .
c) On suppose de plus B inversible. Montrer que A + B et
A − B sont inversibles et que (A + B)(A − B) −1 est
orthogonale.
Exercices