4.3 • Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Puisque l'inégalité précédente a été obtenue en examinant les images, pour obtenir
l'autre inégalité, on va étudier les noyaux.
Comme A,B ∈ O n (R), on essaie de faire
intervenir A t A = I n et B t B = I n .
Pour tous K-ev E,F,G et toutes
f ∈ L(E,F), g ∈ L(F,G), on a :
g ◦ f = 0 ⇐⇒ Im ( f ) ⊂ Ker (g).
Solution
Mais, d'après la formule de Grassmann :
dim
Im (A + B) + Im (A − B)
= dim
Im (A + B)
+ dim
Im (A − B)
− dim
Im (A + B) ∩ Im (A − B)
dim
Im (A + B)
+ dim
Im (A − B)
= rg (A + B) + rg (A − B).
Ceci montre : rg (A) rg (A + B) + rg (A − B).
D'autre part, comme A ∈ O n (R), A est inversible, donc rg (A) = n.
On obtient : n rg (A + B) + rg (A − B).
2) On a :
(A − B)
t
(A + B) = (A − B)(
t A +
t B)
= A
t
A + A
t
B − B
t
A − B
t
B = AB
−1 − B A
−1 ,
car A
t
A = B
t
B = I n et
t
A = A
−1
,
t
B = B
−1
.
Par hypothèse : (AB
−1
)
2
= I n , donc AB
−1 est inversible et AB
−1
= (AB
−1
)
−1
= B A
−1
, d'où : AB
−1
− B A
−1
= 0.
Il en résulte : (A − B)
t
(A + B) = 0,
d'où : Im
t
(A + B)
⊂ Ker (A − B).
On déduit, en passant aux dimensions :
dim
Im
t
(A + B)
dim
Ker (A − B)
.
Mais, d'une part :
dim
Im
t
(A + B)
= rg
t
(A + B)
= rg (A + B),
et, d'autre part, d'après le théorème du rang :
dim
Ker (A − B)
= n − rg (A − B).
On obtient :
rg (A + B) n − rg (A − B),
ou encore :
rg (A + B) + rg (A − B) n.
On conclut finalement :
rg (A + B) + rg (A − B) = n.
Les méthodes à retenir
Endomorphismes orthogonaux
• Pour étudier un endomorphisme orthogonal f d’un espace vectoriel euclidien E, penser à utiliser, pour tout
(x,y) ∈ E
2 , l’égalité < f (x), f (y) > = < x,y > (ex. 4.3.7).
• Pour étudier une isométrie f d’un espace vectoriel euclidien E, il peut être commode de passer à l’aspect matriciel (ex. 4.3.8) en faisant intervenir la notion de transposée d’une matrice.
• Pour étudier une matrice orthogonale dont l’un des termes est égal à 1 ou à –1, il est utile de remarquer que,
si A = (a i j ) i j ∈ O n (R), alors tous les a i j sont dans [−1; 1], et, si l’un des a i j est égal à – 1 ou 1, alors tous les
éléments de la i-ème ligne et tous les éléments de la j-ème colonne de A sont nuls, sauf a i j lui-même (ex. 4.3.11).
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Puisque l'inégalité précédente a été obtenue en examinant les images, pour obtenir
l'autre inégalité, on va étudier les noyaux.
Comme A,B ∈ O n (R), on essaie de faire
intervenir A t A = I n et B t B = I n .
Pour tous K-ev E,F,G et toutes
f ∈ L(E,F), g ∈ L(F,G), on a :
g ◦ f = 0 ⇐⇒ Im ( f ) ⊂ Ker (g).
Solution
Mais, d'après la formule de Grassmann :
dim
Im (A + B) + Im (A − B)
= dim
Im (A + B)
+ dim
Im (A − B)
− dim
Im (A + B) ∩ Im (A − B)
dim
Im (A + B)
+ dim
Im (A − B)
= rg (A + B) + rg (A − B).
Ceci montre : rg (A) rg (A + B) + rg (A − B).
D'autre part, comme A ∈ O n (R), A est inversible, donc rg (A) = n.
On obtient : n rg (A + B) + rg (A − B).
2) On a :
(A − B)
t
(A + B) = (A − B)(
t A +
t B)
= A
t
A + A
t
B − B
t
A − B
t
B = AB
−1 − B A
−1 ,
car A
t
A = B
t
B = I n et
t
A = A
−1
,
t
B = B
−1
.
Par hypothèse : (AB
−1
)
2
= I n , donc AB
−1 est inversible et AB
−1
= (AB
−1
)
−1
= B A
−1
, d'où : AB
−1
− B A
−1
= 0.
Il en résulte : (A − B)
t
(A + B) = 0,
d'où : Im
t
(A + B)
⊂ Ker (A − B).
On déduit, en passant aux dimensions :
dim
Im
t
(A + B)
dim
Ker (A − B)
.
Mais, d'une part :
dim
Im
t
(A + B)
= rg
t
(A + B)
= rg (A + B),
et, d'autre part, d'après le théorème du rang :
dim
Ker (A − B)
= n − rg (A − B).
On obtient :
rg (A + B) n − rg (A − B),
ou encore :
rg (A + B) + rg (A − B) n.
On conclut finalement :
rg (A + B) + rg (A − B) = n.
Les méthodes à retenir
Endomorphismes orthogonaux
• Pour étudier un endomorphisme orthogonal f d’un espace vectoriel euclidien E, penser à utiliser, pour tout
(x,y) ∈ E
2 , l’égalité < f (x), f (y) > = < x,y > (ex. 4.3.7).
• Pour étudier une isométrie f d’un espace vectoriel euclidien E, il peut être commode de passer à l’aspect matriciel (ex. 4.3.8) en faisant intervenir la notion de transposée d’une matrice.
• Pour étudier une matrice orthogonale dont l’un des termes est égal à 1 ou à –1, il est utile de remarquer que,
si A = (a i j ) i j ∈ O n (R), alors tous les a i j sont dans [−1; 1], et, si l’un des a i j est égal à – 1 ou 1, alors tous les
éléments de la i-ème ligne et tous les éléments de la j-ème colonne de A sont nuls, sauf a i j lui-même (ex. 4.3.11).