Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
156
3) Traduction matricielle du procédé d’orthogonalisation de Schmidt
Proposition 11
∀ A ∈ GL n (R), ∃(Ω,T ) ∈ O n (R) × T n,s (R), A = ΩT.
Preuve
Notons C 1 ,. . . ,C n les colonnes de A et C = (C 1 ,. . . ,C n ) qui est donc une famille libre dans
M n,1 (R).
Dans l'eve M n,1 (R) muni du produit scalaire canonique, appliquons à C le procédé d'orthogonalisation
de Schmidt (4.2.2 Th. p. 142). Il existe V 1 ,. . . ,V n ∈ M n,1 (R) tels que :
V 1 ,. . . ,V n sont deux à deux orthogonaux
∀ k ∈ {1,. . . ,n}, ||V k || = 1
∀ k ∈ {1,. . . ,n}, Vect(V 1 ,. . . ,V k ) = Vect(C 1 ,. . . ,C k ).
Ainsi, B = (V 1 ,. . . ,V n ) est une b.o.n. de M n,1 (R).
Notons B 0 la base canonique de M n,1 (R), Ω = Pass(B 0 ,B) ∈ O n (R) ,
T 1 = Pass(C,B) ∈ T n,s (R) ∩ GL n (R) .
Alors (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.1 Prop. 2) :
A = Pass(B 0 ,C) = Pass(B 0 ,B)Pass(B,C) = ΩT
−1
1 .
En notant T = T
−1
1 ∈ T n,s (R) , on obtient finalement : A = ΩT.
Décomposition d’une matrice inversible
en produit d’une matrice orthogonale
et d’une matrice triangulaire supérieure.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice-type résolu
Étude de rg(A + B) + rg(A − B) pour A, B orthogonales telles que (AB −1 )
2
= I n .
Soient n ∈ N
∗
, A,B ∈ O n (R) telles que (AB
−1
)
2
= I n . Montrer :
rg (A + B) + rg (A − B) = n.
Conseils
On va établir l'égalité voulue en montrant
deux inégalités.
Il est clair que : Im (2A) = Im (A).
Solution
1) On a, pour tous K-ev E,F et toutes f,g ∈ L(E,F) :
Im ( f + g) ⊂ Im ( f ) + Im (g).
En effet, pour tout y ∈ Im ( f + g), il existe x ∈ E tel que y = ( f + g)(x), d'où :
y = f (x) + g(x) ∈ Im ( f ) + Im (g).
Ici, on obtient :
Im (2A) ⊂ Im (A + B) + Im (A − B).
On déduit, en passant aux dimensions :
rg (A) = dim
Im (A)
dim
Im (A + B) + Im (A − B)
.
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3) Traduction matricielle du procédé d’orthogonalisation de Schmidt
Proposition 11
∀ A ∈ GL n (R), ∃(Ω,T ) ∈ O n (R) × T n,s (R), A = ΩT.
Preuve
Notons C 1 ,. . . ,C n les colonnes de A et C = (C 1 ,. . . ,C n ) qui est donc une famille libre dans
M n,1 (R).
Dans l'eve M n,1 (R) muni du produit scalaire canonique, appliquons à C le procédé d'orthogonalisation
de Schmidt (4.2.2 Th. p. 142). Il existe V 1 ,. . . ,V n ∈ M n,1 (R) tels que :
V 1 ,. . . ,V n sont deux à deux orthogonaux
∀ k ∈ {1,. . . ,n}, ||V k || = 1
∀ k ∈ {1,. . . ,n}, Vect(V 1 ,. . . ,V k ) = Vect(C 1 ,. . . ,C k ).
Ainsi, B = (V 1 ,. . . ,V n ) est une b.o.n. de M n,1 (R).
Notons B 0 la base canonique de M n,1 (R), Ω = Pass(B 0 ,B) ∈ O n (R) ,
T 1 = Pass(C,B) ∈ T n,s (R) ∩ GL n (R) .
Alors (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.1 Prop. 2) :
A = Pass(B 0 ,C) = Pass(B 0 ,B)Pass(B,C) = ΩT
−1
1 .
En notant T = T
−1
1 ∈ T n,s (R) , on obtient finalement : A = ΩT.
Décomposition d’une matrice inversible
en produit d’une matrice orthogonale
et d’une matrice triangulaire supérieure.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice-type résolu
Étude de rg(A + B) + rg(A − B) pour A, B orthogonales telles que (AB −1 )
2
= I n .
Soient n ∈ N
∗
, A,B ∈ O n (R) telles que (AB
−1
)
2
= I n . Montrer :
rg (A + B) + rg (A − B) = n.
Conseils
On va établir l'égalité voulue en montrant
deux inégalités.
Il est clair que : Im (2A) = Im (A).
Solution
1) On a, pour tous K-ev E,F et toutes f,g ∈ L(E,F) :
Im ( f + g) ⊂ Im ( f ) + Im (g).
En effet, pour tout y ∈ Im ( f + g), il existe x ∈ E tel que y = ( f + g)(x), d'où :
y = f (x) + g(x) ∈ Im ( f ) + Im (g).
Ici, on obtient :
Im (2A) ⊂ Im (A + B) + Im (A − B).
On déduit, en passant aux dimensions :
rg (A) = dim
Im (A)
dim
Im (A + B) + Im (A − B)
.