4.3 • Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien
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Proposition 6
Soient B une b.o.n. de E, B une base de E, P = Pass(B,B ). Alors, B est une b.o.n.
de E si et seulement si P est orthogonale.
Proposition 7
1) ∀ Ω ∈ O n (R), det(Ω) ∈ {−1,1}
2) ∀ f ∈ O(E), det( f ) ∈ {−1,1}.
2) Endomorphismes orthogonaux et orientation
Définition 3
Soit f ∈ O(E). On dit que f est un endomorphisme orthogonal direct (resp. indirect) si et seulement si det( f ) = 1 (resp. −1).
On dit aussi :
droit au lieu de direct
gauche au lieu d
indirect.
Proposition - Définition 8
L'ensemble des endomorphismes orthogonaux directs de E est un sous-groupe de
O(E), appelé groupe spécial orthogonal de E, et noté SO(E).
Proposition - Définition 9
Soit Ω ∈ O n (R). On dit que Ω est orthogonale droite (resp. gauche) si et seulement si det(Ω) = 1 (resp. −1).
L'ensemble des matrices orthogonales droites d'ordre n est un sous-groupe de O n (R),
appelé groupe spécial orthogonal, noté SO n (R) :
SO n (R) = {Ω ∈ O n (R); det(Ω) = 1}.
Remarque :
Soient B une b.o.n. de E , f ∈ L(E), Ω = Mat B ( f ). Alors : f ∈ SO(E) ⇐⇒ Ω ∈ SO n (R).
L'application SO(E) −→ SO n (R)
f −→ Mat B ( f )
est un isomorphisme de groupes, SO(E) étant muni de
la composition, et SO n (R) muni de la multiplication.
Proposition 10
1) ∀ f ∈ O(E), Sp R ( f ) ⊂ {−1,1}
2) ∀ Ω ∈ O n (R), Sp R (Ω) ⊂ {−1,1} .
Preuve
Il est clair que 2) est la traduction matricielle de 1).
Soient f ∈ O(E), λ ∈ R, x ∈ E − {0} tels que f (x) = λx.
On a : ||x|| = || f (x)|| = ||λx|| = |λ|||x|| , d'où |λ| = 1, et donc λ ∈ {−1,1} .
᭿
Rappel de notation :
Pass(B,B ) est la matrice de passage
de la base B à la base B .
Les « réciproques » sont fausses : une
matrice de déterminant 1 ou –1 n’est
pas nécessairement orthogonale,
comme le montre l’exemple de la
matrice :
1 1
0 1
.
Les « réciproques » sont fausses : une
matrice carrée dont le spectre réel est
inclus dans {−1,1} n’est pas
nécessairement orthogonale,comme le
montre l’exemple de la matrice :
1 1
0 1
.
Exercices 4.3.6 à 4.3.13.