Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
154
Proposition 2
Soit f ∈ L(E). Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f ∈ O(E)
(ii) Pour toute b.o.n. B de E, f (B) est une b.o.n. de E
(iii) Il existe une b.o.n. B de E telle que f (B) soit une b.o.n. de E.
Proposition - Définition 3
L'ensemble O(E) des endomorphismes orthogonaux de E est un groupe pour la
loi ◦, appelé groupe orthogonal de (E,< ·,· >) (ou : de E).
Définition 2
Une matrice Ω de M n (R) est dite orthogonale si et seulement si l'endomorphisme
de R n , représenté par Ω dans la base canonique de R n , est un endomorphisme orthogonal de R n muni de son produit scalaire usuel.
On note O n (R) l'ensemble des matrices orthogonales de M n (R).
Proposition 4
Soient Ω ∈ M n (R), E un R-ev de dimension finie n, < ·,· > un produit scalaire sur
E. Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
1) Ω ∈ O n (R)
2)
t
ΩΩ = I n
3) Ω
t
Ω = I n
4) Pour toute b.o.n. B de E, l'endomorphisme représenté par Ω dans B est orthogonal
5) Il existe une b.o.n. de E dans laquelle l'endomorphisme représenté par Ω est
orthogonal
6) Les colonnes de Ω forment une b.o.n. de M n,1 (R) pour le produit scalaire canonique
7) Les lignes de Ω forment une b.o.n. de M 1,n (R) pour le produit scalaire canonique.
Proposition - Définition 5
O n (R) est un groupe pour la multiplication, appelé groupe orthogonal (d'ordre n).
Remarque :
Soient B une b.o.n. de E , f ∈ L(E) , Ω = Mat B ( f ) .
On a alors : f ∈ O(E) ⇐⇒ Ω ∈ O n (R) .
L'application O(E) −→ O n (R)
f −→ Mat B ( f )
est un isomorphisme de groupes (O(E) étant muni de la
composition, et O n (R) muni de la multiplication).
En pratique :
• Si f ∈ O(E) et si B est une b.o.n.
de E, alors f (B) est une b.o.n. de E
• Si f ∈ L(E) et s’il existe une b.o.n.
B de E, telle que f (B) soit une b.o.n.
de E, alors f ∈ O(E).
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Géométrie
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ométrie Monier
En particulier, si Ω ∈ O n (R), alors
Ω est inversible et Ω −1 =
t Ω.
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Lien entre endomorphisme orthogonal
et matrice orthogonale.
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Proposition 2
Soit f ∈ L(E). Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f ∈ O(E)
(ii) Pour toute b.o.n. B de E, f (B) est une b.o.n. de E
(iii) Il existe une b.o.n. B de E telle que f (B) soit une b.o.n. de E.
Proposition - Définition 3
L'ensemble O(E) des endomorphismes orthogonaux de E est un groupe pour la
loi ◦, appelé groupe orthogonal de (E,< ·,· >) (ou : de E).
Définition 2
Une matrice Ω de M n (R) est dite orthogonale si et seulement si l'endomorphisme
de R n , représenté par Ω dans la base canonique de R n , est un endomorphisme orthogonal de R n muni de son produit scalaire usuel.
On note O n (R) l'ensemble des matrices orthogonales de M n (R).
Proposition 4
Soient Ω ∈ M n (R), E un R-ev de dimension finie n, < ·,· > un produit scalaire sur
E. Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
1) Ω ∈ O n (R)
2)
t
ΩΩ = I n
3) Ω
t
Ω = I n
4) Pour toute b.o.n. B de E, l'endomorphisme représenté par Ω dans B est orthogonal
5) Il existe une b.o.n. de E dans laquelle l'endomorphisme représenté par Ω est
orthogonal
6) Les colonnes de Ω forment une b.o.n. de M n,1 (R) pour le produit scalaire canonique
7) Les lignes de Ω forment une b.o.n. de M 1,n (R) pour le produit scalaire canonique.
Proposition - Définition 5
O n (R) est un groupe pour la multiplication, appelé groupe orthogonal (d'ordre n).
Remarque :
Soient B une b.o.n. de E , f ∈ L(E) , Ω = Mat B ( f ) .
On a alors : f ∈ O(E) ⇐⇒ Ω ∈ O n (R) .
L'application O(E) −→ O n (R)
f −→ Mat B ( f )
est un isomorphisme de groupes (O(E) étant muni de la
composition, et O n (R) muni de la multiplication).
En pratique :
• Si f ∈ O(E) et si B est une b.o.n.
de E, alors f (B) est une b.o.n. de E
• Si f ∈ L(E) et s’il existe une b.o.n.
B de E, telle que f (B) soit une b.o.n.
de E, alors f ∈ O(E).
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En particulier, si Ω ∈ O n (R), alors
Ω est inversible et Ω −1 =
t Ω.
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Lien entre endomorphisme orthogonal
et matrice orthogonale.
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