4.3 • Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien
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4.3.2
Endomorphismes orthogonaux
Nous reprenons et complétons ici l'étude figurant dans Algèbre PCSI-PTSI, 10.3.
Dans ce § 4.3.2, (E,< ·,· >) désigne un eve, n = dim(E) 1.
1) Généralités
Définition 1
Un endomorphisme f de E est dit orthogonal si et seulement si f conserve le produit
scalaire, c'est-à-dire :
∀ (x,y) ∈ E
2
, < f (x), f (y) > = < x,y > .
On note O(E,< ·,· >) (ou : O(E)) l'ensemble des endomorphismes orthogonaux
de E.
Proposition 1
Soit f ∈ L(E). Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) f ∈ O(E)
(ii) ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||x||.
4.3.1 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R). Montrer que deux des
trois propriétés suivantes entraînent chaque fois la troisième :
(i) t A = A
(ii) t A A = A
(iii) A 2 = A.
4.3.2 Soient n ∈ N ∗ , A = (a i j ) i j ∈ S n (R), λ,µ deux vp
de A telles que λ = µ , U (resp. V) un − →
vp pour A associé
à λ (resp. µ). Montrer que t V U = 0 et que U t V est nilpotente.
4.3.3 Soient n ∈ N ∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (R) telle que
t A = A et A 2 = A. Montrer :
a) 0
1i, jn
a i j n
b)
1i, jn
|a i j | n
rg(A)
c)
1i, jn
|a i j | < n
3
2 (si n 2).
4.3.4 Soit n ∈ N ∗ ; déterminer le commutant de A n (R)
dans M n (R), c'est-à-dire :
{ M ∈ M n (R); ∀ A ∈ A n (R), AM = M A } .
4.3.5 Soit n ∈ N ∗ ; on munit M n (R) de son produit
scalaire canonique, et on note
F = Vect{U k ; 0 k n − 1},
a) Montrer que (U k ) 0kn−1 est une base orthogonale
de F .
b) En déduire le projeté orthogonal de A sur F .
A =


1
1
0

 .
U =





0
1
0
0
1
1
0





,
Exercices
Le vocabulaire classique est ici
inconséquent, puisqu'un projecteur
orthogonal de E (autre que Id E ), n'est
pas un endomorphisme orthogonal
de E.
Les éléments de O(E) sont aussi
appelés isométries vectorielles.